№14. Уравнения

Пункт а. Собираем правую часть в один синус

Перенесём косинус направо:

\[2\sin 3x = \sqrt{3}\sin x + \cos x.\]

Справа — сумма синуса и косинуса одного угла. Такую сумму всегда можно свернуть в один синус (метод вспомогательного угла). Вынесем за скобку число \(\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2 + 1^2} = 2\):

\[\sqrt{3}\sin x + \cos x = 2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \dfrac{1}{2}\cos x\right).\]

Числа \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\dfrac{1}{2}\) — это \(\cos\dfrac{\pi}{6}\) и \(\sin\dfrac{\pi}{6}\), поэтому в скобке стоит синус суммы:

\[2\left(\sin x\cos\dfrac{\pi}{6} + \cos x\sin\dfrac{\pi}{6}\right) = 2\sin\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right).\]

Уравнение становится совсем простым:

\[2\sin 3x = 2\sin\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right),\qquad \sin 3x = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right).\]

Две серии из равенства синусов

Важно! Равенство \(\sin\alpha = \sin\beta\) даёт две серии: \(\alpha = \beta + 2\pi n\) и \(\alpha = \pi - \beta + 2\pi n\). Синус принимает одно и то же значение в двух точках окружности, симметричных относительно вертикальной оси. Потерять вторую серию — самая частая ошибка в таких задачах.

Первая серия:

\[3x = x + \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n,\qquad 2x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n,\qquad x = \dfrac{\pi}{12} + \pi n.\]

Вторая серия:

\[3x = \pi - \left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) + 2\pi n,\qquad 4x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n,\qquad x = \dfrac{5\pi}{24} + \dfrac{\pi n}{2}.\]

Важно! При делении на \(2\) и на \(4\) период тоже делится: было \(2\pi n\) — стало \(\pi n\) и \(\dfrac{\pi n}{2}\). Если оставить период \(2\pi n\), половина (а во второй серии — три четверти) корней потеряется.

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right]\) — это правая половина окружности, ровно полоборота.

Переведём всё в двадцать четвёртые доли \(\pi\) — это общий знаменатель для обеих серий:

\[-\dfrac{\pi}{2} = -\dfrac{12\pi}{24},\qquad \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{12\pi}{24}.\]

Первая серия: \(x = \dfrac{\pi}{12} + \pi n = \dfrac{(2 + 24n)\pi}{24}\). Нужно \(-12 \le 2 + 24n \le 12\): годится только \(n = 0\), то есть \(x = \dfrac{\pi}{12}\).

Вторая серия: \(x = \dfrac{5\pi}{24} + \dfrac{\pi n}{2} = \dfrac{(5 + 12n)\pi}{24}\). Нужно \(-12 \le 5 + 12n \le 12\):

\[n = 0:\ \dfrac{5\pi}{24}\ —\ \text{подходит};\qquad n = -1:\ -\dfrac{7\pi}{24}\ —\ \text{подходит};\]

\[n = 1:\ \dfrac{17\pi}{24}\ (17 > 12);\qquad n = -2:\ -\dfrac{19\pi}{24}\ (-19 < -12).\]

Обе «промахнувшиеся» точки видны на рисунке слева — светлые, вне голубой дуги. Записываем корни по возрастанию.

Ответ: а) \(\dfrac{\pi}{12} + \pi n;\ \dfrac{5\pi}{24} + \dfrac{\pi n}{2},\ n \in \mathbb{Z}\);   б) \(-\dfrac{7\pi}{24};\ \dfrac{\pi}{12};\ \dfrac{5\pi}{24}\)

Пункт а. Замена

Заметим, что \(16 = 4^2\), поэтому

\[16^{\sin x} = \left(4^2\right)^{\sin x} = \left(4^{\sin x}\right)^2.\]

Значит уравнение квадратное относительно \(t = 4^{\sin x}\), причём \(t > 0\):

\[t^2 - 6t + 8 = 0,\qquad D = 36 - 32 = 4,\]

\[t_1 = \dfrac{6 + 2}{2} = 4,\qquad t_2 = \dfrac{6 - 2}{2} = 2.\]

Возвращаемся к x

\[4^{\sin x} = 4 \;\Longrightarrow\; \sin x = 1;\]

\[4^{\sin x} = 2:\quad 2^{\,2\sin x} = 2^1 \;\Longrightarrow\; 2\sin x = 1 \;\Longrightarrow\; \sin x = \dfrac{1}{2}.\]

Важно! \(\sin x = 1\) даёт одну серию \(x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\), а не две: единицы синус достигает в единственной точке окружности. Писать здесь «\(\pm\)» — ошибка.

\[x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k;\qquad x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k;\qquad x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[-5\pi;\ -\dfrac{7\pi}{2}\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\): начинаем слева (точка \(-5\pi\) лежит там же, где \(\pi\)) и идём против часовой стрелки до верха окружности.

В шестых долях \(\pi\): \(-5\pi = -\dfrac{30\pi}{6}\), \(-\dfrac{7\pi}{2} = -\dfrac{21\pi}{6}\). Числители трёх серий — это \(3,\ 1,\ 5\) и далее с шагом \(12\). Ищем те, что лежат между \(-30\) и \(-21\):

\[\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k = \dfrac{(3 + 12k)\pi}{6}:\quad k = -2 \to -\dfrac{21\pi}{6} = -\dfrac{7\pi}{2}\ —\ \text{подходит (это конец отрезка)};\]

\[\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{(1 + 12k)\pi}{6}:\quad k = -2 \to -\dfrac{23\pi}{6}\ —\ \text{подходит};\]

\[\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{(5 + 12k)\pi}{6}:\quad k = -2 \to -\dfrac{19\pi}{6}\ (-19 > -21),\quad k = -3 \to -\dfrac{31\pi}{6}\ (-31 < -30).\]

Третья серия в отрезок не попадает — на рисунке её точка светлая.

Важно! Конец отрезка \(-\dfrac{7\pi}{2}\) сам оказался корнем. Скобки квадратные, значит его обязательно включаем в ответ. Проверка: \(\sin\left(-\dfrac{7\pi}{2}\right) = 1\), и \(16 - 6\cdot 4 + 8 = 0\).

Ответ: а) \(\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k;\ \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k;\ \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(-\dfrac{7\pi}{2};\ -\dfrac{23\pi}{6}\)

Пункт а. Две формулы приведения

Обе функции в показателях упрощаются:

\[\sin(x + \pi) = -\sin x,\qquad \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x.\]

Одно основание

Слева основание \(\dfrac{1}{49} = 49^{-1} = 7^{-2}\), значит

\[\left(\dfrac{1}{49}\right)^{-\sin x} = \left(7^{-2}\right)^{-\sin x} = 7^{\,2\sin x}.\]

Уравнение принимает вид

\[7^{\,2\sin x} = 7^{\,2\sqrt{3}\cos x}.\]

Основания одинаковые, функция \(y = 7^{t}\) строго возрастает — значит равны показатели:

\[2\sin x = 2\sqrt{3}\cos x,\qquad \sin x = \sqrt{3}\cos x.\]

Переходим к тангенсу

Проверим, может ли \(\cos x = 0\). Если \(\cos x = 0\), то из равенства получаем и \(\sin x = 0\), а одновременно синус и косинус в ноль не обращаются (\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)). Значит \(\cos x \neq 0\), и на него можно поделить:

\[\operatorname{tg} x = \sqrt{3},\qquad x = \dfrac{\pi}{3} + \pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Важно! Деление на \(\cos x\) допустимо только после явной проверки, что \(\cos x \neq 0\). Одна строчка рассуждения — и приём становится законным.

Важно! Период тангенса равен \(\pi\), а не \(2\pi\). Записать \(x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k\) — значит потерять половину корней.

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[3\pi;\ \dfrac{9\pi}{2}\right]\) длины \(\dfrac{3\pi}{2}\) начинается слева и заканчивается вверху окружности.

Переводим в трети \(\pi\):

\[3\pi = \dfrac{9\pi}{3},\qquad \dfrac{9\pi}{2} = \dfrac{27\pi}{6} = \dfrac{13{,}5\,\pi}{3}.\]

Корни имеют вид \(x = \dfrac{\pi}{3} + \pi k = \dfrac{(1 + 3k)\pi}{3}\). Нужно \(9 \le 1 + 3k \le 13{,}5\):

\[k = 3:\ \dfrac{10\pi}{3}\ —\ \text{подходит};\qquad k = 4:\ \dfrac{13\pi}{3}\ —\ \text{подходит};\]

\[k = 2:\ \dfrac{7\pi}{3}\ —\ \text{левее начала};\qquad k = 5:\ \dfrac{16\pi}{3}\ —\ \text{правее конца}.\]

Обе точки серии, попавшие на дугу, лежат на одном диаметре — это видно на рисунке: тангенс повторяется через половину оборота.

Ответ: а) \(\dfrac{\pi}{3} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(\dfrac{10\pi}{3};\ \dfrac{13\pi}{3}\)

Пункт а. Формула приведения и замена

\[\sin(x + \pi) = -\sin x,\]

поэтому второе слагаемое — это

\[16^{-\sin x} = \dfrac{1}{16^{\sin x}}.\]

Обозначим \(t = 16^{\sin x}\), причём \(t > 0\) как значение показательной функции:

\[t + \dfrac{1}{t} = \dfrac{17}{4}.\]

Умножаем на \(4t\):

\[4t^2 - 17t + 4 = 0,\qquad D = 289 - 64 = 225,\qquad \sqrt{D} = 15,\]

\[t_1 = \dfrac{17 + 15}{8} = 4,\qquad t_2 = \dfrac{17 - 15}{8} = \dfrac{1}{4}.\]

Оба значения положительны, оба годятся.

Возвращаемся к x

Приводим к основанию 2 (\(16 = 2^4\)):

\[2^{\,4\sin x} = 2^2 \;\Longrightarrow\; 4\sin x = 2 \;\Longrightarrow\; \sin x = \dfrac{1}{2};\]

\[2^{\,4\sin x} = 2^{-2} \;\Longrightarrow\; 4\sin x = -2 \;\Longrightarrow\; \sin x = -\dfrac{1}{2}.\]

Важно! Здесь нет лишних проверок вида «\(|\sin x| \le 1\)» — оба значения по модулю меньше единицы. Но привычку проверять стоит сохранять: в аналогичных заданиях вместо \(\dfrac{17}{4}\) может стоять число, дающее \(\sin x = 2\).

\[x = \pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\qquad x = \pm\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[\dfrac{3\pi}{2};\ 3\pi\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\): от низа окружности против часовой стрелки до левой точки.

В шестых долях \(\pi\) концы отрезка — это \(\dfrac{9\pi}{6}\) и \(\dfrac{18\pi}{6}\), а четыре точки серий дают числители \(1,\ 5,\ 7,\ 11\) и далее с шагом \(12\). Между \(9\) и \(18\) попадают

\[\dfrac{11\pi}{6},\qquad \dfrac{13\pi}{6},\qquad \dfrac{17\pi}{6}.\]

Числитель \(19\) уже больше \(18\), числитель \(7\) меньше \(9\) — эта точка на рисунке светлая, она лежит вне дуги.

Ответ: а) \(\pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k;\ \pm\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(\dfrac{11\pi}{6};\ \dfrac{13\pi}{6};\ \dfrac{17\pi}{6}\)

Пункт а. Приводим показатели к одной величине

В показателях стоят две разные тригонометрические функции. Свяжем их формулой косинуса двойного угла:

\[\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x.\]

Теперь обе степени выразим через основание 2, обозначив \(s = \sin^2 x\):

\[16^{\sin^2 x} = 2^{4s},\qquad 4^{\cos 2x} = 2^{\,2(1 - 2s)} = 2^{\,2 - 4s}.\]

Подставляем в уравнение и сворачиваем множители \(8 = 2^3\) и \(2 = 2^1\):

\[2^3\cdot 2^{4s} - 2^1\cdot 2^{\,2-4s} = 63,\qquad 2^{\,3 + 4s} - 2^{\,3 - 4s} = 63.\]

Замена

Пусть \(w = 2^{4s}\). Тогда \(2^{\,3+4s} = 8w\), а \(2^{\,3-4s} = \dfrac{8}{w}\):

\[8w - \dfrac{8}{w} = 63.\]

Важно! Отметим границы для \(w\): \(s = \sin^2 x \in [0;\,1]\), поэтому \(w = 2^{4s} \in [1;\,16]\). В частности \(w > 0\) — это разрешает умножить обе части на \(w\).

\[8w^2 - 63w - 8 = 0,\qquad D = 63^2 + 4\cdot 8\cdot 8 = 3969 + 256 = 4225,\qquad \sqrt{D} = 65,\]

\[w_1 = \dfrac{63 + 65}{16} = 8,\qquad w_2 = \dfrac{63 - 65}{16} = -\dfrac{1}{8}.\]

Отрицательный корень отбрасываем. Остаётся \(w = 8\):

\[2^{4s} = 2^3,\qquad 4s = 3,\qquad \sin^2 x = \dfrac{3}{4}.\]

Возвращаемся к x

\[\sin x = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\]

Это четыре точки на окружности — по две на каждый знак:

\[x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\qquad x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Важно! Все четыре точки лежат на окружности через равные промежутки \(\dfrac{\pi}{3}\), поэтому ответ можно записать и одной серией \(x = \pm\dfrac{\pi}{3} + \pi k\). Для отбора в пункте б удобнее помнить именно «четыре точки».

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[\dfrac{7\pi}{2};\ 5\pi\right]\) длины \(\dfrac{3\pi}{2}\) начинается внизу окружности и заканчивается слева.

В шестых долях \(\pi\): \(\dfrac{7\pi}{2} = \dfrac{21\pi}{6}\), \(5\pi = \dfrac{30\pi}{6}\). А наши четыре точки в шестых долях — это числители \(2,\ 4,\ 8,\ 10\) (и дальше с шагом \(12\)). Выписываем все, что попали между \(21\) и \(30\):

\[\dfrac{22\pi}{6} = \dfrac{11\pi}{3},\qquad \dfrac{26\pi}{6} = \dfrac{13\pi}{3},\qquad \dfrac{28\pi}{6} = \dfrac{14\pi}{3}.\]

Следующий кандидат \(\dfrac{32\pi}{6}\) уже больше \(\dfrac{30\pi}{6}\), предыдущий \(\dfrac{20\pi}{6}\) — меньше \(\dfrac{21\pi}{6}\). Четвёртая точка серии (на рисунке светлая) лежит на «пустом» куске окружности.

Ответ: а) \(\pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k;\ \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(\dfrac{11\pi}{3};\ \dfrac{13\pi}{3};\ \dfrac{14\pi}{3}\)

Пункт а. Сначала область определения

В знаменателе стоит квадратный корень, значит подкоренное выражение должно быть строго положительным (на ноль делить нельзя):

\[7\sin x > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sin x > 0.\]

Важно! ОДЗ выписываем до того, как начали преобразовывать дробь. Если оставить это на потом, легко забыть и записать в ответ лишнюю серию — а здесь именно так задача и устроена: половина корней отсекается условием \(\sin x > 0\).

Числитель равен нулю

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю (а знаменатель при этом не равен нулю — об этом уже позаботилось ОДЗ):

\[4^{\sin 2x} = 2^{\,2\sqrt{3}\sin x}.\]

Приводим левую часть к основанию 2, пользуясь тем, что \(4 = 2^2\):

\[2^{\,2\sin 2x} = 2^{\,2\sqrt{3}\sin x}.\]

Функция \(y = 2^{t}\) строго возрастает, поэтому показатели равны:

\[2\sin 2x = 2\sqrt{3}\sin x,\qquad \sin 2x = \sqrt{3}\sin x.\]

Раскрываем синус двойного угла и выносим общий множитель:

\[2\sin x\cos x - \sqrt{3}\sin x = 0,\qquad \sin x\left(2\cos x - \sqrt{3}\right) = 0.\]

Первый множитель нулю равняться не может: по ОДЗ \(\sin x > 0\). Значит остаётся

\[\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\qquad x = \pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k.\]

Отсекаем лишнюю серию

Проверяем обе серии на условие \(\sin x > 0\):

\[x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k:\quad \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2} > 0\ —\ \text{подходит};\]

\[x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k:\quad \sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2} < 0\ —\ \text{не подходит}.\]

Итог пункта а: \(x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\).

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[-\dfrac{13\pi}{2};\ -5\pi\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\). Точка \(-\dfrac{13\pi}{2}\) лежит внизу окружности, а \(-5\pi\) — слева.

Переводим всё в шестые доли \(\pi\):

\[-\dfrac{13\pi}{2} = -\dfrac{39\pi}{6},\qquad -5\pi = -\dfrac{30\pi}{6}.\]

Корни серии имеют вид

\[x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{(1 + 12k)\pi}{6},\]

и нужно, чтобы \(-39 \le 1 + 12k \le -30\), то есть \(-40 \le 12k \le -31\). Единственное целое: \(k = -3\), тогда \(1 + 12\cdot(-3) = -35\):

\[x = -\dfrac{35\pi}{6}.\]

Ответ: а) \(\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(-\dfrac{35\pi}{6}\)