№15. Стереометрическая задача

Точка \(M\) — середина ребра \(SA\) правильной четырёхугольной пирамиды \(SABCD\) с основанием \(ABCD\). Точка \(N\) лежит на ребре \(SB\), \(SN : NB = 1 : 2\).

1. Докажите, что плоскость \(CMN\) параллельна прямой \(SD\).
2. Найдите площадь сечения пирамиды \(SABCD\) плоскостью \(CMN\), если все рёбра пирамиды равны 6.

Точка \(M\) — середина бокового ребра \(SC\) правильной четырёхугольной пирамиды \(SABCD\). Точка \(N\) лежит на стороне \(BC\) основания \(ABCD\). Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(M\) и \(N\) параллельно боковому ребру \(SA\).

1. Плоскость \(\alpha\) пересекает боковое ребро \(SD\) в точке \(L\). Докажите, что \(BN : NC = DL : LS\).
2. Плоскость \(\alpha\) делит пирамиду \(SABCD\) на два многогранника. Найдите отношение их объёмов, если \(BN : NC = 1 : 2\).

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды \(SABCD\) с основанием \(ABCD\) равны 4. Точка \(O\) — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой \(SA\) и проходящая через точку \(O\), пересекает рёбра \(SC\) и \(SD\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно. Точка \(N\) делит ребро \(SD\) в отношении \(SN : ND = 1 : 3\).

1. Докажите, что точка \(M\) — середина ребра \(SC\).
2. Найдите длину отрезка, по которому плоскость \(OMN\) пересекает грань \(SBC\).

На рёбрах \(AB\) и \(BC\) треугольной пирамиды \(ABCD\) отмечены точки \(M\) и \(N\) соответственно, причём \(AM : MB = CN : NB = 1 : 2\). Точки \(P\) и \(Q\) — середины рёбер \(DA\) и \(DC\) соответственно.

1. Докажите, что точки \(P\), \(Q\), \(M\) и \(N\) лежат в одной плоскости.
2. Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость \(PQM\) разбивает пирамиду.

В правильной треугольной пирамиде \(SABC\) с основанием \(ABC\) точки \(M\) и \(K\) — середины рёбер \(AB\) и \(SC\) соответственно, а точки \(N\) и \(L\) отмечены на рёбрах \(SA\) и \(BC\) соответственно так, что отрезки \(MK\) и \(NL\) пересекаются, а \(2AN = 3NS\).

1. Докажите, что прямые \(MN\), \(KL\) и \(SB\) пересекаются в одной точке.
2. Найдите отношение \(BL : LC\).

В пирамиде \(ABCD\) рёбра \(DA\), \(DB\) и \(DC\) попарно перпендикулярны, а \(AB = BC = AC = 6\sqrt{2}\).

1. Докажите, что эта пирамида правильная.
2. На рёбрах \(DA\) и \(DC\) отмечены точки \(M\) и \(N\) соответственно, причём \(DM : MA = DN : NC = 1 : 2\). Найдите расстояние от точки \(D\) до плоскости \(MNB\).