№15. Стереометрическая задача

Различные точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежат на окружности основания конуса с вершиной \(S\) так, что отрезок \(AB\) является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен \(60°\).

1. Докажите, что \(\cos\angle ASC + \cos\angle BSC = 1,5\).
2. Найдите объём тетраэдра \(SABC\), если \(SC = 1\), \(\cos\angle ASC = \dfrac{2}{3}\).

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки \(A\), \(B\) и \(C\), а на окружности другого основания — точка \(C_1\), причём \(CC_1\) — образующая цилиндра, а \(AC\) — диаметр основания. Известно, что \(\angle ACB = 30°\), \(AB = \sqrt{2}\), \(CC_1 = 2\).

1. Докажите, что угол между прямыми \(AC_1\) и \(BC\) равен \(45°\).
2. Найдите объём цилиндра.

В правильной шестиугольной пирамиде \(SABCDEF\) сторона основания \(AB\) равна 2, а боковое ребро \(SA\) равно 8. Точка \(M\) — середина ребра \(AB\). Плоскость \(\alpha\) перпендикулярна плоскости \(ABC\) и содержит точки \(M\) и \(D\). Прямая \(SC\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(K\).

1. Докажите, что \(KM = KD\).
2. Найдите объём пирамиды \(CDKM\).

Основанием четырёхугольной пирамиды \(PABCD\) является трапеция \(ABCD\), причём \(\angle BAD + \angle ADC = 90°\). Плоскости \(PAB\) и \(PCD\) перпендикулярны плоскости основания, \(K\) — точка пересечения прямых \(AB\) и \(CD\).

1. Докажите, что плоскости \(PAB\) и \(PCD\) перпендикулярны.
2. Найдите объём пирамиды \(KBCP\), если \(AB = BC = CD = 4\), а высота пирамиды \(PABCD\) равна 9.

Основанием четырёхугольной пирамиды \(SABCD\) является прямоугольник \(ABCD\), причём \(AB = 4\), \(BC = 4\sqrt{2}\). Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин \(A\) и \(C\) опущены перпендикуляры \(AP\) и \(CQ\) на ребро \(SB\).

1. Докажите, что \(P\) — середина отрезка \(BQ\).
2. Найдите угол между плоскостями \(SBA\) и \(SBC\), если \(SD = 8\).

В правильной четырёхугольной пирамиде \(SABCD\) сторона основания \(AB\) равна 6, а боковое ребро \(SA\) равно 7. На рёбрах \(CD\) и \(SC\) отмечены точки \(N\) и \(K\) соответственно, причём \(DN : NC = SK : KC = 1 : 2\). Плоскость \(\alpha\) содержит прямую \(KN\) и параллельна прямой \(BC\).

1. Докажите, что плоскость \(\alpha\) параллельна прямой \(SA\).
2. Найдите угол между плоскостями \(\alpha\) и \(SBC\).