Окружность с центром \(O\) вписана в равнобедренную трапецию \(ABCD\) с боковой стороной \(AB\).
а) Докажите, что треугольник \(AOB\) прямоугольный.
б) Найдите площадь трапеции, если радиус окружности равен 2, а точка касания делит боковую сторону трапеции в отношении 1:4.

Через вершину \(B\) трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\) проведена прямая, параллельная диагонали \(AC\). Пусть эта прямая пересекается с продолжением основания \(AD\) в точке \(E\).
а) Докажите, что треугольник \(DBE\) равновелик трапеции \(ABCD\).
б) Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 10 и 24, а средняя линия равна 13.

В равнобедренную трапецию \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\) вписана окружность, \(CH\) — высота трапеции.
а) Докажите, что центр окружности, вписанной в трапецию, лежит
на отрезке \(BH\).
б) Найдите диагональ \(AC\), если средняя линия трапеции равна \(2\sqrt{7}\), a \(\angle AOD = 120^o\), где О — центр окружности, вписанной в трапецию, a \(AD\) — большее основание.

Окружность, проходящая через вершины \(A, B\) и \(C\) трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\), вторично пересекает прямую \(AD\) в точке \(M\).
а) Докажите, что \(AC=BM\).
б) Найдите \(AC\), если \(AD = 16\), \(CD = 8\sqrt{3}\) и \(\angle AMB = 60^o\).

Окружность с центром \(O\), вписана в прямоугольную трапецию \(ABCD\) с прямым углом при вершине \(A\). Окружность с центром \(O_2\) касается большей боковой стороны \(CD\) и продолжений оснований трапеции.
а) Докажите, что \(O_1CO_2D\) - прямоугольник.
б) Найдите площадь этого прямоугольника, если точка касания \(M\) вписанной в трапецию окружности делит меньшее основание на отрезки \(BM = 6\) и СМ = 4.