Некоторая компания продает свою продукцию по цене \(p\) — 500 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют \(V\) = 200 руб., постоянные расходы предприятия \(f\) = 900000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле \(\pi(q)=q \times (p-V)-f\). Определите месячный объём производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна 600000 руб.

Для сматывания кабеля на заводе используют лебедку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону
\(\phi=\omega t+\frac{\left(\beta t^2\right)}{2}\)
где \(t-\) время в минутах, \(\omega=40^{\circ} /\) мин - начальная угловая скорость вращения катушки, а \(\beta=4^{\circ} /\) мин \(^2\) - угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки \(\phi\) достигнет \(3000^{\circ}\). Определите время после начала работы лебедки, не позже которого рабочий должен проверить её работу. Ответ выразите в минутах.

На рисунке изображена схема моста. Вертикальные пилоны связаны провисающей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и поддерживают полотно моста, называются вантами.
Введём систему координат:
ось \(0Y\) направим вертикально вверх вдоль одного из пилонов, а ось \(0X\) направим вдоль полотна моста, как показано на рисунке. В этой системе координат линия, по которой провисает цепь моста, задаётся формулой
\(y =0,0029x^2- 0,53x + 28\)
где \(x\) и \(y\) измеряются в метрах. Найдите длину ванты, расположенной в 90 метрах от пилона. Ответ дайте в метрах.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону

 \((H(t)=H_0-\sqrt{2gH_0}kt+\dfrac{g}{2}k^2t^2\),  

где \(t\) — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, \(H_0 = 20\) м — начальная высота столба воды, \(k = 1/400\) - отношение площадей поперечных сечений крана и бака, a \(g\) — ускорение свободного падения (считайте \(g = 10 m/c^2\)). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объема воды?

Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трёх однородных соосных цилиндров: центрального массой \(m\) = 6 кг и радиуса \(R\) = 15 см, и двух боковых с массами \(M\) = 1 кг и с радиусами \(R + h\). При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в кг \(\cdot\) см\(^{2}\) и задается формулой 

  \(I=\dfrac{(m+2M)R^2}{2} + M(2Rh+h^2)\). 

При каком максимальном значении h момент инерции катушки не превышает предельного значения 1300 кг \(\cdot\) см\(^{2}\)? Ответ выразите в сантиметрах.

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы:

 \(T(t)=T_0 + bt + at^{2}\),  

где t - время в минутах, \(T_{0 } = 1320 K\), \(a = 20 \) K/мин, \(b = 200 \) K/мин. Известно, что при температуре свыше 1800К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

К источнику с ЭДС \(\epsilon\) = 160 В и внутренним сопротивлением \(r\) = 0,4 Ом. хотят подключить нагрузку с сопротивлением \(R\) Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даётся формулой

\(U = \dfrac{\epsilon R}{(R+r)}\).

При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 140 В? Ответ выразите в омах.

При сближении источника и приемника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала \(f_0=130\) Гц и определяется следующим выражением:

 \(f=f_0\dfrac{c+u}{c-v}\) (Гц),  

где \(c\) — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а \(u=6\) м/с и \(v=13\) м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости \(c\) (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике \(f\) будет не менее 140 Гц?

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 747 МГц. Скорость погружения батискафа \(v\) (в м/с) вычисляется по формуле 

 \(v=c \dfrac{f-f_0}{f+f_0}\),

где \(c\) = 1500 м/с — скорость звука в воде, \(f_0\) — частота испускаемых импульсов (в МГц), \(f\) — частота отражённого от дна сигнала (в МГц), регистрируемая приёмником. Определите частоту отражённого сигнала, если скорость погружения батискафа равна 6 м/с. Ответ дайте в МГц.

Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу \(m\) = 1260 тонн представляют собой две пустотелые балки длиной \(l\) = 18 метров и шириной \(s\) метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой 

\(p = \dfrac{mg}{2ls}\),   

где \(m\) — масса экскаватора (в тоннах), \(I\) — длина балок в метрах, s — ширина балок в метрах, \(g\) — ускорение свободного падения (считайте \(g = 10 m/c^2\)). Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление р не должно превышать 140 кПа. Ответ дайте в метрах.

Если достаточно быстро вращать ведерко с водой на веревке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведерка сила давления воды на дно не остается постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила ее давления на дно будет положительной во всех точках траектории, кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна 

  \( P = m\left({\dfrac{{v^2}}{L}-g} \right)\), 

где \(m\) – масса воды в килограммах, \(v\) – скорость движения ведерка в м/с, \( L\) – длина веревки в метрах, \(g\) – ускорение свободного падения (считайте \(g=10\) м/с \(^2\)). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведерко, чтобы вода не выливалась, если длина веревки равна 122,5 см? Ответ дайте в м/с.

Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле
 

\( A (\omega) = \dfrac{A_0 \omega_p^2}{|\omega_p^2- \omega^2|}\),

где \(\omega\) — частота вынуждающей силы (в \(c^{-1}\)), \(A_0\) — постоянный параметр, \(\omega_p\) = 210 \(c^{-1}\) — резонансная частота. Найдите максимальную частоту \(\omega\), меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину \(A_0\) не более чем на 12,5%. Ответ дайте в \(c^{-1}\).

Наблюдатель находится на высоте h, выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле 

\(l=\sqrt{\dfrac{Rh}{500}}\),   

где \(R = 6400 км\)— радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 112 километров? Ответ выразите в метрах.

Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой 

 \(\eta=\dfrac{T_1-T_2}{T_1} \cdot 100\%\),  

где \(T_1\) - температура нагревателя (в кельвинах), \(Т_2\) - температура холодильника (в кельвинах). При какой температуре нагревателя \(T_1\) КПД этого двигателя будет 75%, если температура холодильника \(T_2\) = 275 К? Ответ дайте в градусах Кельвина.

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием \(f=56 см\). Расстояние \(d_1\) от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 90 до 110 см, а расстояние \(d_2\) от линзы до экрана — в пределах от 100 до 120 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение 

  \(\dfrac{1}{d_1}+\dfrac{1}{d_2}=\dfrac{1}{f}\). 

Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы ее изображение на экране было четким. Ответ выразите в сантиметрах.

Рейтинг R интернет-магазина вычисляется по формуле:
 

\(R = r_{\text{пок}} - \dfrac{r_{\text{пок}}-r_{\text{экс}}}{(K+1) \cdot \dfrac {0,02K}{r_{\text{пок}}+0,1}}\),

где  \(r_{\text{пок}}\) — средняя оценка магазина покупателями (от 0 до 1), \(r_{\text{экс}}\) - оценка магазина экспертами (от 0 до 0,7) и \(K\) — число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина «Бета», если число покупателей, оставивших отзыв о магазине, равно 10, их средняя оценка равна 0,45, а оценка экспертов равна 0,43.