Диагонали \(AC\) и \(BD\) вписанного в окружность четырехугольника \(ABCD\) взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке \(M\). Известно, что \(AM = 3, BM = 4\) и \(CM = 6\). Найдите \(CD\).

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Хорды \(A B\) и \(C D\) пересекаются в точке \(P\). Известно, что \(A B=C D=12, \angle A P C=60^{\circ}\) и \(A C=2 \cdot B D\). Найдите стороны треугольника \(A P C\).

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Через точку \(M\) проведены две прямые. Одна из них касается некоторой окружности в точке \(A\), а вторая пересекает эту окружность в точках \(B\) и \(C\), причем \(BC = 7\) и \(BM = 9\). Найдите \(AM\).

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Радиусы двух концентрических окружностей относятся как 1 : 2. Хорда большей окружности делится меньшей окружностью на три равные части. Найдите отношение этой хорды к диаметру большей окружности.

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Дана точка \(P\), удаленная на расстояние, равное 7, от центра окружности, радиус которой равен 11. Через точку \(P\) проведена хорда, равная 18. Найдите отрезки, на которые делится хорда точкой \(P\).

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Точка \(M\) лежит внутри окружности радиуса \(R\) и удалена от центра на расстояние \(d\). Докажите, что для любой хорды \(AB\) этой окружности, проходящей через точку \(M\), произведение \(A M \cdot B M\) одно и то же. Чему оно равно?

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Из точки \(A\) проведены два луча, пересекающие данную окружность: один в точках \(B\) и \(C\), другой в точках \(D\) и \(E\). Известно, что \(AB = 7, BC = 7, AD = 10\). Найдите \(DE\).

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Из внешней точки проведены к окружности секущая длиной 12 и касательная, равная \(\frac{2}{3}\) внутреннего отрезка секущей. Найдите длину касательной.
 

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Диагональ \(AC\) вписанного в окружность четырехугольника \(ABCD\) является биссектрисой угла \(BAD\). Докажите, что прямая \(BD\) отсекает от треугольника \(ABC\) подобный ему треугольник.

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Пересекающиеся хорды окружности делятся точкой пересечения в одном и том же отношении. Докажите, что эти хорды равны между собой.

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

В круге проведены две хорды \(AB\) и \(CD\), пересекающиеся в точке \(M; K\) - точка пересечения биссектрисы угла \(BMD\) с хордой \(BD\). Найдите отрезки \(BK\) и \(KD\), если \(BD=3\), а площади треугольников \(CMB\) и \(AMD\) относятся как \(1 : 4\).

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Две окружности пересекаются в точках \(A\) и \(B\). Проведены хорды \(AC\) и \(AD\) этих окружностей так, что хорда одной окружности касается другой окружности. Найдите \(AB\), если \(CB=a, DB=b\).

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей, делит пополам общую касательную к ним.

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Четырехугольник \(ABCD\) вписан в окружность. Диагональ \(AC\) является биссектрисой угла \(BAD\) и пересекается с диагональю \(BD\) в точке \(K\). Найдите \(KC\), если \(BC = 4\) и \(AK = 6\).

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Сторона \(AD\) квадрата \(ABCD\) равна 1 и является хордой некоторой окружности, причем остальные стороны квадрата лежат вне этой окружности. Касательная \(BK\), проведенная из вершины \(B\) к этой же окружности, равна 2. Найдите диаметр окружности.

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Через вершину наибольшего угла треугольника со сторонами 6, 8 и 10 проведена касательная к окружности, описанной около этого треугольника. Найдите отрезок касательной, заключенный между точкой касания и точкой пересечения с продолжением наибольшей стороны треугольника.

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с катетами \(AB = 3\) и \(BC = 4\) через середины сторон \(AB\) и \(AC\) проведена окружность, касающаяся катета \(BC\\). Найдите длину отрезка гипотенузы \(AC\), который лежит внутри этой окружности.

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Окружность касается сторон \(AB\) и \(BC\) треугольника \(ABC\) в точках \(D\) и \(E\) соответственно. Найдите высоту треугольника \(ABC\), опущенную из вершины \(A\), если \(AB = 5, AC = 2\), а точки \(A, D, E, C\) лежат на одной окружности.

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Две окружности внутренне касаются. Прямая, прохо дящая через центр большей окружности, пересекает ее в точках \(A\) и \(D\), а меньшую окружность в точках \(B\) и \(C\). Найдите отношение радиусов окружностей, если \(AB : BC : CD = 3 : 7 : 2\).

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Хорда \(A B\) стягивает дугу окружности, равную \(120^{\circ}\). Точка \(C\) лежит на этой дуге, а точка \(D\) лежит на хорде \(A B\). При этом \(A D=2, B D=1, D C=\sqrt{2}\). Найдите площадь треугольника \(A B C\).

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Точки \(A_1\) и \(B_1\) принадлежат соответственно сторонам \(O A\) и \(O B\) угла \(A O B\) (не равного \(180^{\circ}\) ) и \(O A \cdot O A_1=O B \cdot O B_1\). Докажите, что точки \(A, B, A_1, B_1\) принадлежат одной окружности.

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».