Точка \(M\) расположена на стороне \(BC\) параллелограмма \(ABCD\). Докажите, что площадь треугольника AMD равна половине площади параллелограмма.

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Вершины одного квадрата расположены на сторонах другого и делят эти стороны в отношении \(1 : 2\), считая по часовой стрелке. Найдите отношение площадей квадратов.

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Площадь трапеции, основания которой относятся как 3 : 2, равна 35. Найдите площади треугольников, на которые трапеция разбивается диагональю.

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

На сторонах \(AB\) и \(AC\) треугольника \(ABC\), площадь которого равна 50, взяты соответственно точки \(M\) и \(K\) так, что \(AM : MB = 1 : 5\), а \(AK : KC = 3 : 2\). Найдите площадь треугольника \(AMK\).

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Прямая, проведенная через вершину \(C\) трапеции \(ABCD\) параллельно диагонали \(BD\), пересекает продолжение основания \(AD\) в точке \(M\). Докажите, что треугольник \(ACM\) равновелик трапеции \(ABCD\).

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Докажите, что медианы треугольника делят его на шесть равновеликих частей.

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Точка внутри параллелограмма соединена со всеми его вершинами. Докажите, что суммы площадей треугольников, прилежащих к противоположным сторонам параллелограмма, равны между собой.

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника, равны между собой. Найдите площадь четырехугольника, если его диагонали равны 8 и 12.

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Докажите, что площадь треугольника равна произведению полупериметра треугольника и радиуса вписанной окружности.

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Боковая сторона \(AB\) и основание \(BC\) трапеции \(ABCD\) вдвое меньше ее основания \(AD\). Найдите площадь трапеции, если \(AC = a, CD = b\).

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».
 

Докажите, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит треугольник на два подобных треугольника.

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Докажите, что прямая, параллельная стороне данного треугольника и пересекающая две другие его стороны (или их продолжения), образует с этими сторонами треугольник, подобный данному.

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Сторона \(AB\) треугольника \(ABC\) разделена на три равные части и через точки деления проведены прямые, параллельные стороне \(BC\). Найдите отрезки этих прямых, заключенные внутри треугольника, если \(BC = 12\).

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Через точку \(L\) на стороне \(BC\) треугольника \(ABC\) проведены прямые, параллельные сторонам \(AB\) и \(AC\) и пересекающие эти стороны соответственно в точках \(K\) и \(M\). Известно, что \(BL : LC = 1 : 3, AB = 12\) и \(AC = 18\). Найдите стороны четырехугольника \(AKLM\).

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Диагонали \(AC\) и \(BD\) трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\) пересекаются в точке \(O\). Докажите, что треугольники \(AOD\) и \(COB\) подобны, и найдите коэффициент подобия, если \(AD = a\) и \(BC = b\).

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Точка \(K\) лежит на диагонали \(BD\) параллелограмма \(ABCD\), причем \(BK : KD = 1 : 4\). В каком отношении прямая \(AK\) делит сторону \(BC\)?

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Основание треугольника равно 36. Прямая, параллельная основанию, делит треугольник на две равновеликие части. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного между сторонами треугольника.

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

В прямоугольный треугольник с катетами, равными 6 и 8, вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найдите сторону квадрата.

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

На диагоналях \(A C\) и \(B D\) трапеции \(A B C D\) взяты соответственно точки \(M\) и \(N\), причем \(A M: M C=D N: N B=\) \(=1: 4\). Найдите \(M N\), если основания \(A D\) и \(B C\) равны соответственно \(a\) и \(b(a>b)\).

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

(Замечательное свойство трапеции.) Докажите, что точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований любой трапеции лежат на одной прямой.

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Отрезок прямой, параллельной основаниям трапеции, заключенный внутри трапеции, разбивается ее диагоналями на три части. Докажите, что отрезки, прилегающие к боковым сторонам, равны между собой.

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

\(A A_1\) и \(B B_1-\) высоты остроугольного треугольника \(A B C\). Докажите, что треугольник \(A A_1 C\) подобен треугольнику \(B B_1 C\), а треугольник \(A B C\) подобен треугольнику \(A_1 B_1 C\).

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

В треугольнике \(A B C\) проведены высоты \(B B_1\) и \(C C_1\). Найдите \(B_1 C_1\), если \(\angle A=60^{\circ}\) и \(B C=6\).

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Пусть \(M\) и \(N\) проекции вершины \(A\) параллелограмма \(ABCD\) на прямые \(BC\) и \(CD\) соответственно. Докажите, что треугольник \(MAN\) подобен треугольнику \(ABC\).

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Две прямые, параллельные основаниям трапеции, делят каждую из боковых сторон на три равные части. Вся трапеция разделена ими на три части. Найдите площадь средней части, если площади крайних \(S_1\) и \(S_2\).

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Площадь трапеции равна 27, основания 8 и 16. Найдите площади треугольников, на которые трапеция разделена диагоналями.

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Точки \(K\) и \(M\) лежат на сторонах \(A B\) и \(B C\) треугольника \(A B C\), причем \(A K: B K=3: 2, B M: M C=3: 1\). Через точку \(B\) проведена прямая \(l\), параллельная \(A C\). Прямая \(K M\) пересекает прямую \(l\) в точке \(P\), а прямую \(A C\) в точке \(N\). Найдите \(B P\) и \(C N\), если \(A C=a\).

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Дан треугольник \(ABC\). На продолжении стороны \(AC\) за точку \(C\) взята точка \(N\) так, что \(CN = 3AC\). Точка \(K\)лежит на стороне \(AB\), причем \(AK : KB = 1 : 3\). В каком отношении прямая \(KN\) делит сторону \(BC\)?

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Точки \(M\) и \(N\) лежат на сторонах соответственно \(AB\) и \(AD\) параллелограмма \(ABCD\), причем \(AM : MB = 1 : 2, AN : ND= 3 : 2\). Отрезки \(DM\) и \(CN\) пересекаются в точке \(K\). Найдите отношения \(DK : KM, CK : KN\).

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».