Докажите следующие свойства окружности: 
а) диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам; 
б) диаметр, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде; 
в) окружность симметрична относительно каждого своего диаметра; 
г) дуги окружности, заключенные между параллельными хордами, равны;
д) хорды, удаленные от центра окружности на равные расстояния, равны.

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Через точку окружности проведены диаметр и хорда, равная радиусу. Найдите угол между ними.

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Угол между радиусами \(O A\) и \(O B\) окружности равен \(60^{\circ}\). Найдите хорду \(A B\), если радиус окружности равен \(R\).

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Дана окружность с центром \(O\). На продолжении хорды \(A B\) за точку \(B\) отложен отрезок \(B C\), равный радиусу. Через точки \(C\) и \(O\) проведена секущая \(C D\) ( \(D\) - точка пересечения с окружностью, лежащая вне отрезка \(C O\) ). Докажите, что \(\angle A O D=3 \angle A C D\).

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Две хорды окружности взаимно перпендикулярны. Докажите, что расстояние от точки их пересечения до центра окружности равно расстоянию между их серединами.

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Докажите, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, середина гипотенузы.

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

\(BM\) и \(CN\) высоты треугольника \(ABC\). Докажите, что точки \(B, N, M\) и \(C\) лежат на одной окружности.
 

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Через точку \(A\), лежащую на окружности, проведены диаметр \(A B\) и хорда \(A C\), причем \(A C=8\) и \(\angle B A C=30^{\circ}\). Найдите хорду \(C M\), перпендикулярную \(A B\).

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

В окружности проведены хорды \(AB\) и \(CD\). Расстояние между равными параллельными хордами \(AB\) и \(CD\) равно радиусу окружности. Найдите угол между пересекающимися прямыми \(AC\) и \(BD\).

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0»

Продолжения равных хорд \(AB\) и \(CD\) окружности со ответственно за точки \(B\) и \(C\) пересекаются в точке \(P\). Докажите, что треугольники \(APD\) и \(BPC\) равнобедренные.

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Окружность, построенная на биссектрисе \(AD\) треугольника \(ABC\) как на диаметре, пересекает стороны \(AB\) и \(AC\) соответственно в точках \(M\) и \(N\), отличных от \(A\). Докажите, что \(AM =AN\). 

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Окружность, построенная на катете прямоугольного треугольника как на диаметре, делит гипотенузу в отношении \(1:3\). Найдите острые углы треугольника.

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Докажите, что точка пересечения биссектрис треугольника \(ABC\), точки \(B\) и \(C\), а также точка пересечения биссектрис внешних углов с вершинами \(B\) и \(C\) лежат на одной окружности.

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Точки \(A, B, C\) и \(D\) последовательно расположены на окружности, причем центр \(O\) окружности расположен внутри четырехугольника \(A B C D\). Точки \(K, L, M\) и \(N-\) середины отрезков \(A B, B C, C D\) и \(A D\) соответственно. Докажите, что \(\angle K O N+\angle M O L=180^{\circ}\).

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

На сторонах выпуклого четырехугольника как на диаметрах построены четыре окружности. Докажите, что общая хорда окружностей, построенных на двух соседних сторонах, параллельна общей хорде двух других окружностей.

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Докажите, что касательные к окружности, проведенные через концы диаметра, параллельны.
 

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Через точку \(M\) проведены две касательные \(MA\) и \(MB\) к окружности (\(A\) и \(B\) точки касания). Докажите, что \(MA=MB\).

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Расстояние от точки \(M\) до центра \(O\) окружности равно диаметру. Через точку \(M\) проведены две прямые, касающиеся окружности в точках \(A\) и \(B\). Найдите углы треугольника \(AOB\).

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Хорда большей из двух концентрических окружностей касается меньшей. Докажите, что точка касания делит эту хорду пополам.

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Докажите, что центр окружности, вписанной в угол, расположен на его биссектрисе.

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Две прямые касаются окружности с центром \(O\) в точках \(A\) и \(B\) и пересекаются в точке \(C\). Найдите угол между этими прямыми, если \(\angle A B O=40^{\circ}\).

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Две прямые, пересекающиеся в точке \(C\), касаются окружности в точках \(A\) и \(B\). Известно, что \(\angle A C B=120^{\circ}\). Докажите, что сумма отрезков \(A C\) и \(B C\) равна отрезку \(O C\).

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Точка \(D\) лежит на стороне \(B C\) треугольника \(A B C\). В треугольник \(A B D\) и \(A C D\) вписаны окружности с центрами \(O_1\) и \(O_2\). Докажите, что отрезок \(O_1 O_2\) виден из точки \(D\) под прямым углом.

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Центр окружности, описанной около треугольника, совпадает с центром вписанной окружности. Найдите углы треугольника.

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Прямая, параллельная хорде \(AB\), касается окружности в точке \(C\). Докажите, что треугольник \(ABC\) равнобедренный.

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Две прямые, проходящие через точку \(M\), лежащую вне окружности с центром \(O\), касаются окружности в точках \(A\) и \(B\). Отрезок \(OM\) делится окружностью пополам. В каком отношении отрезок \(OM\) делится прямой \(AB\)?

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Окружность проходит через вершину \(C\) и середины \(D\) и \(E\) сторон \(BC\) и \(AC\) равностороннего треугольника \(ABC\). Докажите, что прямая, проходящая через середины сторон \(AB\) и \(BC\), касательная к окружности.

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Окружность вписана в треугольник со сторонами, равными \(a, b\) и \(c\). Найдите отрезки, на которые точка касания делит сторону, равную \(a\).

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Окружность вписана в пятиугольник со сторонами, равными \(a, b, c, d\) и \(e\). Найдите отрезки, на которые точка касания делит сторону, равную \(a\).

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0»

Прямая касается окружности с центром \(O\) в точке \(A\). Точка \(C\) на этой прямой и точка \(D\) на окружности расположены по разные стороны от прямой \(O A\). Найдите угол \(C A D\), если угол \(A O D\) равен \(110^{\circ}\).

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Докажите, что если окружность касается всех сторон четырехугольника, то суммы противоположных сторон четырехугольника равны между собой.

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Окружность, вписанная в треугольник \(A B C\), касается его сторон \(A B, B C\) и \(A C\) соответственно в точках \(K, M\) и \(N\). Найдите угол \(K M N\), если \(\angle A=70^{\circ}\).

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Пусть \(r\) - радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами \(a\) и \(b\) и гипотенузой \(c\). Докажите, что \(r=\frac{1}{2}(a+b-c)\).

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

В треугольник \(A B C\) вписана окружность, касающаяся стороны \(A B\) в точке \(M\). Пусть \(A M=x, B C=a\), полупериметр треугольника равен \(p\). Докажите, что \(x=p-a\).

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Две окружности касаются внешним (внутренним) образом. Докажите, что сумма (разность) их радиусов равна расстоянию между центрами. Верно ли обратное?

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Окружности с центрами \(O_1\) и \(O_2\) касаются внешним образом в точке \(K\). Некоторая прямая касается этих окружностей в различных точках \(A\) и \(B\) и пересекает их общую касательную, проходящую через точку \(K\), в точке \(M\). Докажите, что \(\angle O_1 M O_2=\angle A K B=90^{\circ}\).

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

В острый угол, равный \(60^{\circ}\), вписаны две окружности, касающиеся друг друга внешним образом. Радиус меньшей окружности равен \(r\). Найдите радиус большей окружности.

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Стороны равнобедренного треугольника равны 1 и 3. Какая из сторон является основанием?

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Может ли основание равнобедренного треугольника быть вдвое больше боковой стороны?

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».

Может ли периметр треугольника быть равным 19, если одна из его сторон на 1 короче другой и на 3 длиннее третьей?

Если ты решил(-а) это задание напиши «1», если нет - «0».