На рисунке изображён график функции \(f(x)=a \sin x+b\). Найдите \(b\).

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5 % никеля, второй — 14 % никеля. Масса второго сплава больше массы первого на 8 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 11% никеля. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием \(f=50\). Расстояние \(d_1\) от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 55 до 70 cm , а расстояние \(d_2\) от линзы до экрана - в пределах от 260 до 300 cm . Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение \(\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}\). Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы ее изображение на экране было четким. Ответ выразите в сантиметрах. 

На рисунке изображен график производной функции \(f(x)\), определенной на интервале \((-8 ; 5)\). Найдите количество таких чисел \(x_i\), что касательная к графику функции \(f(x)\) в точке с абсциссой \(x_i\) параллельна прямой \(y=3 x-17\) или совпадает с ней. 

(ЕГЭ, 2019) Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции на таком заводе равны \(0,5 x^2+2 x+6\) млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит \(p x-\left(0,5 x^2+2 x+6\right)\). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более, чем за 3 года? 

(ЕГЭ, 2018) a) Решите уравнение \(\dfrac{\sin x}{\cos x+1}=1-\cos x\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[-\frac{5 \pi}{2} ;-\pi\right]\)