(ЕГЭ, 2022, арифметика остатков) По кругу расставлено \(N\) различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 425. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 4, а сумма любых трёх идущих подряд чисел нечётна.
a) Может ли \(N\) быть равным 280 ?

Если да, введи 1, если нет - 0

(ЕГЭ, 2022, арифметика остатков) По кругу расставлено \(N\) различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 425. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 4, а сумма любых трёх идущих подряд чисел нечётна.
б) Может ли \(N\) быть равным 149 ?
в) Найдите наибольшее значение \(N\).

Если да, введи 1, если нет - 0

(ЕГЭ, 2016) В шахматы можно выиграть, проиграть или сыграть вничью. Шахматист записывает результат каждой сыгранной им партии и после каждой партии подсчитывает три показателя: «победы» - процент побед, округлённый до целого, «ничьи» - процент ничьих, округлённый до целого, и «поражения», равные разности 100 и суммы показателей «побед» и «ничьих». (Например, число 13,2 округляется до 13 , число 14,5 округляется до 15 , число 16,8 округляется до 17).
a) Может ли в какой-то момент показатель «побед» равняться 17 , если было сыграно менее 50 партий?

(ЕГЭ, 2016) В шахматы можно выиграть, проиграть или сыграть вничью. Шахматист записывает результат каждой сыгранной им партии и после каждой партии подсчитывает три показателя: «победы» - процент побед, округлённый до целого, «ничьи» - процент ничьих, округлённый до целого, и «поражения», равные разности 100 и суммы показателей «побед» и «ничьих». (Например, число 13,2 округляется до 13 , число 14,5 округляется до 15 , число 16,8 округляется до 17).
б) Может ли после выигранной партии увеличится показатель «поражений»?
в) Одна из партий была проиграна. При каком наименьшем количестве сыгранных партий показатель «поражений» может быть равным 1 ?

(ЕГЭ, 2020, ср. арифметическое) Сорок гирек массой 1 г, 2 г, .., 40 г разложили по двум кучам, в каждой куче хотя бы одна гирька. Масса каждой гирьки выражается целым числом граммов. Затем из второй кучи переложили в первую одну гирьку. После этого средняя масса гирек в первой куче увеличилась на 1 г.
a) Могло ли такое быть, если первоначально в первой куче лежали только гирьки массой 6 г, 10 г и 14 г?

(ЕГЭ, 2020, ср. арифметическое) Сорок гирек массой 1 г, 2 г, .., 40 г разложили по двум кучам, в каждой куче хотя бы одна гирька. Масса каждой гирьки выражается целым числом граммов. Затем из второй кучи переложили в первую одну гирьку. После этого средняя масса гирек в первой куче увеличилась на 1 г.
б) Могла ли средняя масса гирек в первой куче первоначально равняться \(8,5 \) г?
в) Какое наибольшее число гирек могло быть первоначально в первой куче?

(ЕГЭ, 2021) На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно сумме цифр первого, а третье равно сумме цифр второго.
a) Может ли сумма этих чисел быть равна 2022?

(ЕГЭ, 2021) На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно сумме цифр первого, а третье равно сумме цифр второго.
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 2021?
в) В тройке чисел первое число трёхзначное, а третье равно 2 . Сколько существует таких троек?

(ЕГЭ, 2019) Есть синие и красные карточки. Всего карточек 50 штук. На каждой написаны натуральные числа, среднее арифметическое которых равно 16 . Все числа на синих карточках разные. При этом любое число на синей карточке больше, чем любое на красной. Числа на синих увеличили в 2 раза, после чего среднее арифметическое стало равно 31,2.
a) Может ли быть 10 синих карточек?

(ЕГЭ, 2019) Есть синие и красные карточки. Всего карточек 50 штук. На каждой написаны натуральные числа, среднее арифметическое которых равно 16 . Все числа на синих карточках разные. При этом любое число на синей карточке больше, чем любое на красной. Числа на синих увеличили в 2 раза, после чего среднее арифметическое стало равно 31,2.
б) Может ли быть 10 красных карточек?
в) Какое наибольшее количество синих карточек может быть?

(ЕГЭ, 2019) В ящике лежит 95 фруктов, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два фрукта различной массы, а средняя масса всех фруктов равна 100 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых меньше 100 г, равна 73 грамма. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых больше 100 г, равна 115 г.
a) Могло ли в ящике оказаться поровну фруктов массой меньше 100 г и фруктов массой больше 100 г?

(ЕГЭ, 2019) В ящике лежит 95 фруктов, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два фрукта различной массы, а средняя масса всех фруктов равна 100 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых меньше 100 г, равна 73 грамма. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых больше 100 г, равна 115 г.
б) Могло ли в ящике оказаться меньше 10 фруктов, масса каждого из которых равна 100 г ?
в) Какую наибольшую массу может иметь фрукт в этом ящике?

 (ЕГЭ, 2018) На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5 , а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.
a) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться 3?

(ЕГЭ, 2018) На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5 , а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.
б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 9?
в) Пусть \(B\) - шестое по величине число, а \(S\) - среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения \(S\) - \(B\).

(ЕГЭ, 2017) Маша и Наташа делали фотографии в течение некоторого количества подряд идущих дней. В первый день Маша сделала \(m\) фотографий, а Наташа - \(n\) фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1001 фотографию больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.
a) Могли ли они фотографировать в течение 7 дней?

(ЕГЭ, 2017) Маша и Наташа делали фотографии в течение некоторого количества подряд идущих дней. В первый день Маша сделала \(m\) фотографий, а Наташа - \(n\) фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1001 фотографию больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.
б) Могли ли они фотографировать в течение 8 дней?
в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 40 фотографий?

(ЕГЭ, 2019) Шесть различных натуральных чисел таковы, что никакие два из них не имеют общего делителя, большего 1
a) Может ли сумма этих чисел быть равной 39 ?

(ЕГЭ, 2019) Шесть различных натуральных чисел таковы, что никакие два из них не имеют общего делителя, большего 1.
б) Может ли сумма этих чисел быть равной 34 ?
в) Какова их минимальная сумма?

(ЕГЭ, 2017) На доске написано 30 натуральных чисел. Какие-то из них красные, а какие-то зелёные. Красные числа кратны 7, а зелёные числа кратны 5. Все красные числа отличаются друг от друга, как и все зелёные. Но между красными и зелёными могут быть одинаковые.
a) Может ли сумма всех чисел, записанных на доске, быть меньше 2325, если на доске написаны только кратные 5 числа?

(ЕГЭ, 2017) На доске написано 30 натуральных чисел. Какие-то из них красные, а какие-то зелёные. Красные числа кратны 7, а зелёные числа кратны 5. Все красные числа отличаются друг от друга, как и все зелёные. Но между красными и зелёными могут быть одинаковые
б) Может ли сумма чисел быть 1467, если только одно число красное?
в) Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 1467.