(ЕГЭ, 2022, арифметика остатков) На доске написано \(N\) различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 99 . Для любых двух написанных на доске чисел \(a\) и \(b\), таких, что \(a<b\), ни одно из написанных чисел не делится на \(b-a\), и ни одно из написанных чисел не является делителем числа \(b-a\).\\
a) Могли ли на доске быть написаны какие-то два числа из чисел 18,19 и 20?

Если да, введи 1, если нет - 0

(ЕГЭ, 2022, арифметика остатков) На доске написано \(N\) различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 99 . Для любых двух написанных на доске чисел \(a\) и \(b\), таких, что \(a<b\), ни одно из написанных чисел не делится на \(b-a\), и ни одно из написанных чисел не является делителем числа \(b-a\).\\
б) Среди написанных на доске чисел есть 17 . Может ли \(N\) быть равно 25 ?
в) Найдите наибольшее значение \(N\).

Если да, введи 1, если нет - 0

(ЕГЭ, 2017, среднее арифметическое) Каждый из 32 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 14 . Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно \(S\).\\
a) Приведите пример, когда \(S<14\).

Если решил(а), введи 1, если нет - 0

(ЕГЭ, 2017, среднее арифметическое) Каждый из 32 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 14 . Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно \(S\).
б) Могло ли оказаться, что только два студента написали обе контрольные работы, если \(S=11\) ?
в) Какое наименьшее количество студентов могло написать обе контрольные работы, если \(S=11\) ?

Если да, введи 1, если нет - 0

(ЕГЭ, 2018, средн.арифм) В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали, по крайней мере, 2 учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
a) Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в 2 раза?

Если да, введи 1, если нет - 0

(ЕГЭ, 2018, средн.арифм) В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали, по крайней мере, 2 учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
б) Средний балл в школе №1 вырос на \(10 %\), средний балл в школе №2 также вырос на \(10 %\). Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 1?
в) Средний балл в школе №1 вырос на \(10 %\), средний балл в школе №2 также вырос на \(10 %\). Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.

Если да, введи 1, если нет - 0 

(ЕГЭ, 2016, средн. арифметическое) Последовательность \(a_1, a_2, \ldots, a_n(n \geq 3)\) состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.
a) Приведите пример такой последовательности, состоящей из пяти членов, сумма которых равна 40.

Если получилось решить, введи 1, если нет - 0

(ЕГЭ, 2016, средн. арифметическое) Последовательность \(a_1, a_2, \ldots, a_n(n \geq 3)\) состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.
б) Может ли такая последовательность состоять из пяти членов и содержать два одинаковых числа?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при \(n=6\)?

Если да, введи 1, если нет - 0 

(ЕГЭ, 2022, последовательности) На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 3 , к каждому числу из второй группы - цифру 7 , а числа из третьей группы оставили без изменений.
a) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 8 раз?

Если да, введи 1, если нет - 0

(ЕГЭ, 2022, последовательности) На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 3 , к каждому числу из второй группы - цифру 7 , а числа из третьей группы оставили без изменений.
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 17 раз?
в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?

Если да, введи 1, если нет - 0