(ЕГЭ, 2019 ) В правильной четырёхугольной пирамиде \(SABCD\) сторона основания \(AB\) равна 8, а боковое ребро \(SA\) равно 10. На рёбрах \(CD\) и \(SC\) отмечены точки \(N\) и \(K\) соответственно, причём \(DN : NC = SK : KC = 1 : 7\). Плоскость \(\alpha\) содержит прямую \(KN\) и параллельна прямой \(BC\).
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) делит ребро \(SB\) в отношении 1 : 7, считая от вершины \(S\).
б) Найдите расстояние между прямыми \(SA\) и \(KN\).

(ЕГЭ, 2019 ) В правильной треугольной призме \(ABCA_1B_1C_1\) сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 6. Точка \(M\) — середина ребра \(A_1C_1\), а точка \(O\) — точка пересечения
диагоналей боковой грани \(ABB_1A_1\).
а) Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника, являющегося сечением призмы \(ABCA_1B_1C_1\) плоскостью \(AMB\), лежит на отрезке \(OC_1\).
б) Найдите угол между прямой \(OC_1\) и плоскостью \(AMB\).

(ЕГЭ, 2018 ) В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки \(A\) и \(B\), а на окружности другого основания — точки \(B_1\) и \(C_1\), причём \(BB_1\) — образующая цилиндра, а отрезок \(AC_1\) пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол \(ABC_1\) прямой.
б) Найдите угол между прямыми \(BB_1\) и \(AC_1\), если \(AB = 10\), \(BB_1 = 7\), \(B_1C_1 = 24\). 

(ЕГЭ, 2018 ) На ребре \(AB\) правильной четырёхугольной пирамиды \(SABCD\) с основанием \(ABCD\) отмечена точка \(Q\), причём \(AQ : QB = 1 : 2.\) Точка \(P\) — середина ребра \(AS\).
а) Докажите, что плоскость \(DPQ\) перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
б) Найдите площадь сечения \(DPQ\), если площадь сечения \(DSB\) равна 6.

(ЕГЭ, 2017 ) Длина диагонали куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равна \(3\sqrt{11}\). На луче \(A_1C\) отмечена точка \(P\) так, что \(A_1P = 4\sqrt{11}\).
а) Докажите, что \(PBDC_1\) — правильный тетраэдр.
б) Найдите длину отрезка \(AP\). 

24. (ЕГЭ, 2017 ) Сечением прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) плоскостью \(\alpha\), содержащей прямую \(BD_1\) и параллельной прямой \(AC\), является ромб.
а) Докажите, что грань \(ABCD\) — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями \(\alpha\) и \(BCC_1\), если \(AA_1 = 6\), \(AB = 4\).