(ЕГЭ, 2020 ) В правильной шестиугольной пирамиде \(SABCDEF\) боковое ребро \(SA = 14\),
а сторона \(AB = 8\). Точка \(M\) — середина стороны \(AB\). Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(M\) и
\(D\) и перпендикулярна плоскости \(ABC\). Прямая \(SC\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(K\).
а) Докажите, что \(MK = KD\).
б) Найдите объём пирамиды \(MCDK\).

(ЕГЭ, 2020 ) В правильной треугольной призме \(ABCA_1B_1C_1\) сторона основания \(AB = 8\), а боковое ребро \(AA_1 = 7\). На ребре \(CC_1\) отмечена точка \(M\) причём \(CM = 1\).
а) Точки \(O\) и \(O_1\) — центры окружностей, описанных около треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) соответственно. Докажите, что прямая \(OO_1\) содержит точку пересечения медиан треугольника \(ABM\).
б) Найдите расстояние от точки \(A_1\) до плоскости \(ABM\).

(ЕГЭ, 2019 ) В пирамиде \(SABC\) известны длины рёбер: \(SC = SB = AC = AB =\sqrt{31}\), \(BC = SA = 2\sqrt{7}\).
а) Докажите, что прямая \(SA\) перпендикулярна прямой \(BC\).
б) Найдите расстояние между прямыми \(BC\) и \(SA\).

(ЕГЭ, 2019 ) Радиус основания конуса с вершиной \(S\) и центром основания \(O\) равен 5, а его высота равна \(\sqrt{51}\). Точка \(M\) — середина образующей \(SA\) конуса, а его точки \(N\) и \(B\) лежат на основании конуса, причём прямая \(MN\) параллельна образующей конуса \(SB\).
а) Докажите, что угол \(ANO\) — прямой.
б) Найдите угол между прямой \(BM\) и плоскостью основания конуса, если \(AB = 8\)

(ЕГЭ, 2019 ) В правильной треугольной пирамиде \(SABC\) сторона основания \(AB\) равна 6, а боковое ребро \(SA\) равно 5. На рёбрах \(AB\) и \(SC\) отмечены точки \(K\) и \(M\) соответственно, причём
\(AK : KB = SM : MC = 5 : 1\). Плоскость \(\alpha\) содержит прямую \(KM\) и параллельна прямой \(SA\).
а) Докажите, что сечение пирамиды \(SABC\) плоскостью \(\alpha\) — прямоугольник.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка \(A\), а основанием — сечение пирамиды \(SABC\) плоскостью \(\alpha\). 

(ЕГЭ, 2019 ) В правильной треугольной пирамиде \(SABC\) сторона основания \(AB\) равна 5, а боковое ребро \(SA\) равно 3. На рёбрах \(AB\) и \(SC\) отмечены точки \(K\) и \(M\) соответственно, причём
\(AK : KB = SM : MC = 1 : 4\). Плоскость \(\alpha\) содержит прямую \(KM\) и параллельна прямой \(SA\).
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) делит ребро \(AC\) в отношении 1 : 4, считая от вершины \(A\).
б) Найдите расстояние между прямыми \(SA\) и \(KM\).