(ЕГЭ, 2022 ) В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) на диагонали \(BD_1\) отмечена точка \(N\) так, что \(BN : ND_1 = 1 : 2.\) Точка \(O\) — середина отрезка \(CB_1\).
а) Докажите, что прямая \(NO\) проходит через точку \(A\).
б) Найдите объём параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), если длина отрезка \(NO\) равна расстоянию между прямыми \(BD_1\) и \(CB_1\) и равна \(\sqrt{2}\).

(ЕГЭ, 2022 ) Диагонали грани \(CDD_1C_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) пересекаются в точке \(O\).
Плоскость \(DA_1C_1\) пересекает диагональ \(BD_1\) в точке \(F\).
а) Докажите, что \(BF : FD_1 = A_1F : FO\).
б) Точки \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(AB\) и \(AA_1\) соответственно. Найдите угол между прямой
\(MN\) и плоскостью \(DA_1C_1\). 

(ЕГЭ, 2022 ) Точка \(M\) — середина ребра \(AA_1\) треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\), в основании которой лежит треугольник \(ABC\). Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(B\) и \(B_1\) перпендикулярно прямой \(C_1M\).
а) Докажите, что одна из диагоналей грани \(ACC_1A_1\) равна одному из рёбер этой грани.
б) Найдите расстояние от точки \(C\) до плоскости \(\alpha\), если плоскость \(\alpha\) делит ребро \(AC\) в отношении \(1 : 5\), считая от вершины \(A\), \(AC = 20, AA_1 = 32\).

(ЕГЭ, 2021 ) В основании правильной треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) лежит треугольник \(ABC\). На прямой \(AA_1\) отмечена точка \(D\) так, что точка \(A_1\) — середина отрезка \(AD\). На прямой \(B_1C_1\) отмечена точка \(E\) так, что точка \(C_1\) — середина отрезка \(B_1E\).
а) Докажите, что прямые \(A_1B_1\) и \(DE\) перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми \(AB\) и \(DE\), если \(AB = 3, AA_1 = 1\).

(ЕГЭ, 2021 ) В правильной четырёхугольной пирамиде \(SABCD\) сторона основания \(AD = 10\), высота \(SH = 12\). Точка \(K\) — середина бокового ребра \(SD\). Плоскость \(AKB\) пересекает
боковое ребро \(SC\) в точке \(P\).
а) Докажите, что площадь четырёхугольника \(CDKP\) составляет 3/4 площади треугольника \(SCD\).
б) Найдите объём пирамиды \(ACDKP\). 

(ЕГЭ, 2021 ) В правильной треугольной пирамиде \(SABC\) сторона основания \(AB = 16\), высота \(SH = 10\). Точка \(K\) — середина бокового ребра \(SA\). Плоскость, параллельная плоскости \(ABC\), проходит через точку \(K\) и пересекает рёбра \(SB\) и \(SC\) в точках \(Q\) и \(P\) соответственно.
а) Докажите, что площадь четырёхугольника \(BCPQ\) составляет 3/4 площади треугольника \(SBC\).
б) Найдите объём пирамиды \(KBCPQ\).