(ЕГЭ, 2020) На сторонах \(AB, BC\) и \(AC\) треугольника \(ABC\) отмечены точки \(C_1\), \(A_1\) и \(B_1\) соответственно, причём \(AC_1 : C_1B = 21 : 10\), \(BA_1 : A_1C = 2 : 3\), \(AB_1 : B_1C = 2 : 5\). Отрезки \(BB_1\) и \(CC_1\) пересекаются в точке \(D\).
а) Докажите, что четырёхугольник \(ADA_1B_1\) — параллелограмм.
б) Найдите \(CD\), если отрезки \(AD\) и \(BC\) перпендикулярны, \(AC = 63\), \(BC = 25\).

(ЕГЭ, 2020) Биссектрисы острых углов \(A\) и \(B\) прямоугольного треугольника \(ABC\) пересекают окружность, описанную около этого треугольника, в точках \(A_1\) и \(B_1\) соответственно.
а) Докажите, что угол \(A_1BB_1\) равен \(45^o\).
б) Биссектриса угла \(C\) пересекает окружность, описанную около треугольника \(ABC\), в точке \(C_1\). Найдите \(B_1C_1\), если \(AB = 2\sqrt{3}\), \(\angle BAC = 60^o\).

(ЕГЭ, 2020) В прямоугольном треугольнике \(ABC\) точка \(M\) лежит на катете \(AC\), а точка \(N\) лежит на продолжении катета \(BC\) за точку \(C\), причём \(CM = BC\) и \(CN = AC\).
а) Отрезки \(CH\) и \(CF\) — высоты треугольников \(ACB\) и \(MCN\) соответственно. Докажите, что прямые \(CH\) и \(CF\) перпендикулярны.
б) Прямые \(BM\) и \(AN\) пересекаются в точке \(L\). Найдите \(LM\), если \(BC = 4, AC = 6\).

(ЕГЭ, 2020) В остроугольном треугольнике \(ABC\) проведены высота \(CC_1\) и медиана \(AA_1\), причём точки \(A, C, A_1, C_1\) лежат на одной окружности.
а) Докажите, что треугольник \(ABC\) равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника \(ABC\), если \(AA_1 : CC_1 = 3 : 2\) и \(A_1C_1 = 2\).

(ЕГЭ, 2020) Две окружности касаются внутренним образом в точке \(C\). Вершины \(A\) и \(B\) равнобедренного прямоугольного треугольника \(ABC\) с прямым углом \(C\) лежат на большей и меньшей окружностях соответственно. Прямая \(AC\) вторично пересекает меньшую окружность в точке \(D\). Прямая \(BC\) вторично пересекает большую окружность в точке \(E\).
а) Докажите, что \(AE|| BD\).
б) Найдите \(AC\), если радиусы окружностей равны 8 и 15.