(ЕГЭ, 2022) На стороне \(BC\) треугольника \(ABC\) отмечена точка \(D\) так, что \(AB = BD\). Биссектриса \(BF\) треугольника \(ABC\) пересекает прямую \(AD\) в точке \(E\). Из точки \(C\) на прямую \(AD\) опущен перпендикуляр \(CK\).
а) Докажите, что \(AB : BC = AE : EK\).
б) Найдите отношение площади треугольника \(ABE\) к площади четырёхугольника \(CDEF\),
если \(BD : DC = 5 : 2\). 

(ЕГЭ, 2022) На стороне острого угла с вершиной \(A\) отмечена точка \(B\). Из точки \(B\) на биссектрису и другую сторону угла опущены перпендикуляры \(BC\) и \(BD\) соответственно.
а) Докажите, что \(AC^2 + CD^2 = AD^2 + BD^2\).
б) Прямые \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(T\). Найдите \(AT : TC\), если \(\cos \angle ABC =\dfrac{3}{8}\)

(ЕГЭ, 2022) На стороне \(BC\) параллелограмма \(ABCD\) выбрана точка \(M\) такая, что \(AM = MC\).
а) Докажите, что центр вписанной в треугольник \(AMD\) окружности лежит на диагонали \(AC\).
б) Найдите радиус вписанной в треугольник \(AMD\) окружности, если \(AB = 5\), \(BC = 10\),
\(\angle BAD = 60^o\)

(ЕГЭ, 2022) В треугольнике \(ABC\) точки \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\) соответственно. Известно, что около четырёхугольника \(AMNC\) можно описать окружность.
а) Докажите, что треугольник \(ABC\) равнобедренный.
б) На стороне \(AC\) отмечена точка \(F\) такая, что \(\angle AFB = 135^o\). Отрезок \(BF\) пересекает отрезок \(MN\) в точке \(E\). Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника \(AMNC\), если \(\angle ABC = 120^o\), \(EF = 6\sqrt{2}\).

(ЕГЭ, 2021) Дана трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\). Окружность, описанная
около треугольника \(ABC\), пересекает боковую сторону \(CD\) в точке \(E\), а основание \(AD\) в точке \(F\), причём \(AB = FD\).
а) Докажите, что \(\angle EAD = \angle EDA\).
б) Найдите площадь трапеции \(ABCD\), если \(AB = 5\), \(BC = 3\), а прямые \(AE\) и \(CF\) перпендикулярны.