В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с прямым углом \(C\) точки \(M\) и \(N\)  — середины катетов \(AC\) и \(BC\) соответственно, \(CH\)  — высота.
а)  Докажите, что прямые \(MH\) и \(NH\) перпендикулярны.
б)  Пусть \(P\)  — точка пересечения прямых \(AC\) и \(NH\), а \(Q\)  — точка пересечения прямых \(BC\) и \(MH\). Найдите площадь треугольника \(PQM\), если \(AH=12\) и \(BH=3\).

На боковых сторонах \(AB\) и \(AC\) равнобедренного треугольника \(ABC\) отложены равные отрезки \(AP\) и \(CQ\) соответственно. 
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, проходит через середину отрезка \(PQ\).
б) Найдите длину отрезка прямой \(PQ\), заключённого внутри вписанной окружности треугольника \(ABC\), если \(AB=AC=BC=3\sqrt{2}, CQ=AP=\sqrt{2}\).

Дана трапеция \(ABCD\) с основаниями \(BC\) и \(AD\). Точки \(M\) и \(N\) являются серединами сторон \(AB\) и \(CD\) соответственно. Окружность, проходящая через точки \(B\) и \(C\), пересекает отрезки \(BM\) и \(CN\) в точках \(P\) и \(Q\) (отличных от концов отрезков).
а)  Докажите, что точки \(M, N, P\) и \(Q\) лежат на одной окружности.
б)  Найдите \(QN\), если отрезки \(DP\) и \(PC\) перпендикулярны, \(AB  =  21, BC  =  4, CD  =  20, AD  =  17.\) 

В остроугольном треугольнике \(ABC\) проведены высоты \(AK\) и \(CM\). На них из точек \(M\) и \(K\) опущены перпендикуляры \(ME\) и \(KH\) соответственно.
а)  Докажите, что прямые \(EH\) и \(AC\) параллельны.
б)  Найдите отношение \(EH\) и \(AC\), если \(\angle ABC=60^o\).