В трапеции \(ABCD\) основание \(AD\) в два раза больше основания \(BC
\). Внутри трапеции взяли точку \(M\) так, что углы \(ABM\) и \(DCM\) прямые.
а) Докажите, что \(AM=DM\).
б) Найдите угол \(BAD\), если угол \(ADC\) равен \(70^o\), а расстояние от точки \(M\) до прямой \(AD\) равно стороне \(BC\).

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) точки \(M\) и \(N\)— середины гипотенузы \(AB\) и катета \(BC\) соответственно. Биссектриса угла \(BAC\) пересекает прямую \(MN\) в точке \(L\).
а)Докажите, что треугольники \(AML\) и \(BLC\) подобны.
б)Найдите отношение площадей этих треугольников, если  \(\cos \angle BAC=\dfrac{7}{25}\) .

Дана трапеция \(ABCD\) с боковой стороной \(AB\), которая перпендикулярна основаниям. Из точки \(A\) на сторону \(CD\) опущен перпендикуляр \(AH\). На стороне \(AB\) взята точка \(E\) так, что прямые \(CE\) и \(CD\) перпендикулярны.
а)Доказать, что прямые \(BH\) и \(ED\) параллельны.
б)Найти отношение \(BH\) к \(ED\), если \(\angle BCD = 135^o\).

В параллелограмм вписана окружность.
а)  Докажите, что этот параллелограмм  — ромб.
б)  Окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные 5 и 3. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.

В выпуклом четырёхугольнике \(ABCD\) точки \(K, M, P, E\)  — середины сторон \(AB, BC, CD,\) и \(DA\) соответственно.
а)  Докажите, что площадь четырёхугольника \(KMPE\) равна половине площади четырёхугольника \(ABCD.\)
б)  Найдите большую диагональ четырёхугольника \(KMPE\), если известно, что \(AC  =  6\), \(BD  =  8\), а сумма площадей треугольников \(AKE\) и \(CMP=3\sqrt{3}\).