(ЕГЭ 2017 основная волна)
На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 5, или на цифру 9. Сумма написанных чисел равна 3008.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 5 и на 9?

Если ответ «Да» в ответе укажите 1, если «Нет» - 0
 

(ЕГЭ 2017 основная волна)
На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 5, или на цифру 9. Сумма написанных чисел равна 3008.
б) Могут ли ровно три числа на доске оканчиваться на 5?

Если ответ «Да» в ответе укажите 1, если «Нет» - 0
в) Какое наименьше количество чисел, оканчивающихся на 5, может быть на доске?

Решение пункта в будет доступно после решения всех задач

(ЕГЭ 2021 основная волна)
Дано трехзначное число \(A\), сумма цифр которого равна \(S\).
а) Может ли выполняться равенство \(A\cdot S = 2800\)?

Если ответ «Да» в ответе укажите 1, если «Нет» - 0
 

(ЕГЭ 2021 основная волна)
Дано трехзначное число \(A\), сумма цифр которого равна \(S\).
б) Может ли выполняться равенство \(A\cdot S = 2491\)?

Если ответ «Да» в ответе укажите 1, если «Нет» - 0

в) Найдите наибольшее произведение \(A\cdot S\), если известно, что оно меньше 5997. 

Решение пункта в будет доступно после решения всех задач

(ЕГЭ 2016 основная волна) 
В шахматы можно выиграть, проиграть или сыграть вничью. Шахматист записывает результат каждой сыгранной им партии и после каждой партии подсчитывает три показателя: «победы» - процент побед среди всех сыгранных партий, округленный до целого, «ничьи» - процент ничьих среди всех сыгранных партий, округленный до целого, и «поражения» - 100 отнять округленный процент побед и отнять округленный процент ничьих. (Округление происходит обычным образом, например, число 13,2 округляется до 13, число 14,5 округляется до 15, число 16,8 округляется до 17.)
а) Может ли в какой-то момент показатель «побед» равняться 17, если сыграно менее 50 партий?

Если ответ «Да» в ответе укажите 1, если «Нет» - 0

(ЕГЭ 2016 основная волна) 
В шахматы можно выиграть, проиграть или сыграть вничью. Шахматист записывает результат каждой сыгранной им партии и после каждой партии подсчитывает три показателя: «победы» - процент побед среди всех сыгранных партий, округленный до целого, «ничьи» - процент ничьих среди всех сыгранных партий, округленный до целого, и «поражения» - 100 отнять округленный процент побед и отнять округленный процент ничьих. (Округление происходит обычным образом, например, число 13,2 округляется до 13, число 14,5 округляется до 15, число 16,8 округляется до 17.)
б) Может ли после выигранной партии увеличиться показатель поражений»?

Если ответ «Да» в ответе укажите 1, если «Нет» - 0
в) Известно, что ровно одна из партий была проиграна. При каком наименьшем количестве сыгранных партий показатель «поражений» может быть равным 1?

Решение пункта в будет доступно после решения всех задач

(ЕГЭ 2021 основная волна)
Даны три различных натуральных числа такие, что второе число равно
сумме цифр первого, а третье - сумме цифр второго.
а) Может ли сумма трех чисел быть равной 2022?

Если ответ «Да» в ответе укажите 1, если «Нет» - 0
 

(ЕГЭ 2021 основная волна)
Даны три различных натуральных числа такие, что второе число равно
сумме цифр первого, а третье - сумме цифр второго.
б) Может ли сумма трех чисел быть равной 2021?

Если ответ «Да» в ответе укажите 1, если «Нет» - 0
в) Сколько существует троек чисел, таких что первое число трехзначное, а последнее равно 2? 

Решение пункта в будет доступно после решения всех задач

(ЕГЭ 2016 основная волна)
На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа \(a\) и \(b\), записанные на доске, заменяются на два числа: или \(a+b\) и \(2a-1\) или \(a+b\) и \(2b-1\) (например, из чисел 2 и 3 можно получить либо 5 и 3, либо 5 и 5).
а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из двух чисел, написанных на доске, окажется числом 15.

Если ответ «Да» в ответе укажите 1, если «Нет» - 0

(ЕГЭ 2016 основная волна)
На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа \(a\) и \(b\), записанные на доске, заменяются на два числа: или \(a+b\) и \(2a-1\) или \(a+b\) и \(2b-1\) (например, из чисел 2 и 3 можно получить либо 5 и 3, либо 5 и 5).
б) Может ли после 50 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 100?

Если ответ «Да» в ответе укажите 1, если «Нет» - 0
в) Сделали 2015 ходов, причем на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел? 

Решение пункта в будет доступно после решения всех задач

(ЕГЭ 2021 основная волна)
Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из трехзначных натуральных чисел, равен 128. Известно, что в прогрессии не менее трех чисел.
а) Может ли число 686 являться членом такой прогрессии?

Если ответ «Да» в ответе укажите 1, если «Нет» - 0
 

(ЕГЭ 2021 основная волна)
Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из трехзначных натуральных чисел, равен 128. Известно, что в прогрессии не менее трех чисел.
б) Может ли число 496 являться членом такой прогрессии?

Если ответ «Да» в ответе укажите 1, если «Нет» - 0
в) Какое наибольшее число может являться членом такой прогрессии?

Решение пункта в будет доступно после решения всех задач

(ЕГЭ 2020 основная волна)
На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число.
К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 3, к каждому числу из второй группы — цифру 7, а числа из третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 8 раз?

Если ответ «Да» в ответе укажите 1, если «Нет» - 0
 

(ЕГЭ 2020 основная волна)
На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число.
К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 3, к каждому числу из второй группы — цифру 7, а числа из третьей группы оставили без изменений.
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 17 раз?

Если ответ «Да» в ответе укажите 1, если «Нет» - 0
в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел? 

Решение пункта в будет доступно после решения всех задач