Биссектриса угла \(ADC\) параллелограмма \(ABCD\) пересекает прямую \(AB\) в точке \(E\). В треугольник \(ADE\) вписана окружность, касающаяся стороны \(AE\) в точке \(K\) и стороны \(AD\) в точке \(T\).
а)  Докажите, что прямые \(KT\) и \(DE\) параллельны.
б)  Найдите угол \(BAD\), если известно, что \(AD = 8\) и \(KT = 4\).

В треугольнике \(ABC\) точки \(A_1, B_1\) и \(C_1\)  — середины сторон \(BC\), \(AC\) и \(AB\) соответственно, \(AH\)  — высота, \(\angle BAC=60^o\), \(\angle BCA=45^o\).
а)  Докажите, что \(A_1, B_1, C_1\) и \(H\) лежат на одной окружности.
б)  Найдите \(A_1H\), если \(BC=2\sqrt{3}\) .

В трапецию \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\) вписана окружность с центром \(O\).
а)  Докажите, что  \(\sin \angle AOD= \sin \angle BOC\).
б)  Найдите площадь трапеции, если \(\angle BAD=90^o\), а основания равны 5 и 7.

Дан прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом \(C\). На катете \(AC\) взята точка \(M\). Окружность с центром \(O\) и диаметром \(CM\) касается гипотенузы в точке \(N\).
а)  Докажите, что прямые \(MN\) и \(BO\) параллельны.
б)  Найдите площадь четырехугольника \(BOMN\), если \(CN  =  8\), \(AM:MC=1:3\) 

В остроугольном треугольнике ABC, \(\angle A=60^o\). Высоты \(BN\) и \(CM\) треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(H\). Точка \(O\)  — центр окружности, описанной около \(\bigtriangleup ABC\).
а)Докажите, что \(AH=AO\).
б)Найдите площадь \(\bigtriangleup AHO\), если \(BC=6\sqrt{3}\), \(\angle ABC = 45^o\)