Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\).

Найдите углы:

а) между прямой \(AC_1\) и плоскостью \(BDD_1\);

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\).

Найдите углы:

б) между прямой \(AB\) и плоскостью \(CB_1D_1\);

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\).

Найдите углы:

в) между прямой \(DD_1\) и плоскостью \(ACB_1\);

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\).

Найдите углы:

г) между прямой \(AC\) и плоскостью \(BCD_1\). 

Дана правильная четырёхугольная пирамида \(SABCD\) с вершиной \(S\). Все рёбра пирамиды равны, \(M\) — середина бокового ребра \(SD\).

Найдите углы:

а) между прямой \(AM\) и плоскостью \(ABC\);

Дана правильная четырёхугольная пирамида \(SABCD\) с вершиной \(S\). Все рёбра пирамиды равны, \(M\) — середина бокового ребра \(SD\).

Найдите углы:

б) между прямой \(BD\) и плоскостью \(BSC\);

Дана правильная четырёхугольная пирамида \(SABCD\) с вершиной \(S\). Все рёбра пирамиды равны, \(M\) — середина бокового ребра \(SD\).

Найдите углы:

в) между прямой \(BM\) и плоскостью \(ASD\);

Дана правильная четырёхугольная пирамида \(SABCD\) с вершиной \(S\). Все рёбра пирамиды равны, \(M\) — середина бокового ребра \(SD\).

Найдите углы:

г) между прямой \(SA\) и плоскостью \(CSD\).

Дана правильная шестиугольная призма \(ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\), все рёбра которой равны 1.

Найдите углы:

а) между прямой \(AA_1\) и плоскостью \(BCE_1\);

Дана правильная шестиугольная призма \(ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\), все рёбра которой равны 1.

Найдите углы:

б) между прямой \(BC_1\) и плоскостью \(AFF_1\);

Дана правильная шестиугольная призма \(ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\), все рёбра которой равны 1.

Найдите углы:

в) между прямой \(BD_1\) и плоскостью \(ABB_1\);

Дана правильная шестиугольная призма \(ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\), все рёбра которой равны 1.

Найдите углы:

г) между прямой \(BE_1\) и плоскостью \(ABB_1\).

Высота \(PC\) треугольной пирамиды \(PABC\) с вершиной \(P\) проходит через точку \(C\). Прямые \(PA\) и \(BC\) перпендикулярны.
а) Докажите, что основание пирамиды—прямоугольный треугольник.
б) Найдите углы, которые образуют боковые рёбра \(PA\) и \(PB\) с плоскостью основания, если \(AC = 6, BC = 8\), а расстояние от точки \(P\) до прямой \(AB\) равно 5.

Дана треугольная пирамида \(SABC\); \(O\) — точка пересечения медиан основания \(ABC\).
а) Докажите, что плоскость, проходящая через прямую \(AB\) и середину \(M\) ребра \(SC\), делит отрезок \(SO\) в отношении 3:1, считая от вершины \(S\).
б) Найдите угол между прямой \(BC\) и плоскостью \(ABM\), если пирамида правильная, а угол между прямой, проходящей через точку \(M\) и середину ребра \(AB\), и прямой \(SO\) равен \(45^o\). 

Дана прямая призма \(ABCA_1B_1C_1\), основание которой — прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом \(C\) и катетом \(BC\), вдвое большим бокового ребра призмы. Точка \(M\) — середина ребра \(A_1C_1\), точка \(N\) лежит на ребре \(BC\), причём \(CN:NB=1:3\).
а) Докажите, что \(MN\perp CB_1\).
б) Найдите угол между прямой \(MN\) и плоскостью основания \(A_1B_1C_1\), если \(AA_1:AB=1:\sqrt{7}\). 

Основание \(ABCD\) призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) —трапеция с основаниями \(AB=2CD\).
а) Докажите, что плоскость \(BA_1D_1\) проходит через середину бокового ребра \(CC_1\).
б) Найдите угол между боковым ребром \(AA_1\) и этой плоскостью, если призма прямая, трапеция \(ABCD\) прямоугольная с прямым углом при вершине \(B\), а \(BC=CD\) и \(AA_1 =\sqrt{6}CD\).