Высоты \(BB_1\) и \(CC_1\) остроугольного треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(H\).
а) Докажите, что \(\angle BB_1C_1 = \angle BAH\).
б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника \(ABC\), до стороны \(BC\), если \(B_1C_1 = 10\sqrt{3}\) и \(\angle BAC = 60^o\).

В треугольнике \(ABC\) проведены две высоты \(BM\) и \(CN\), причём \(AM: CM = 2: 3\) и \(\cos \angle BAC = \dfrac{2}{\sqrt{5}}\)
а) Докажите, что угол \(ABC\) тупой.
б) Найдите отношение площадей треугольников \(BMN\) и \(ABC\).

В выпуклом четырёхугольнике \(ABCD\) известны стороны и диагональ: \(AB=3, BC=CD=5, AD=8, AC=7\).
а) Докажите, что вокруг этого четырехугольника можно описать окружность.
б) Найдите \(BD\).