(ЕГЭ 2019)

Четырёхугольник \(A B C D\) вписан в окружность. Угол \(A B D\) равен \(61^{\circ}\), угол \(C A D\) равен \(37^{\circ}\) Найдите угол \(A B C\). Ответ дайте в градусах.

(ЕГЭ 2019)

Основания трапеции равны 6 и 8. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

(ЕГЭ 2019)

В четырёхугольник \(A B C D\) вписана окружность, \(A B=10, B C=8, C D=16\). Найдите длину стороны \(AD\)

(ЕГЭ 2019)

Угол между стороной и диагональю ромба равен \(54^{\circ}\). Найдите острый угол ромба.

(ЕГЭ 2019)

В треугольнике \(A B C\) сторона \(A B\) равна \(3 \sqrt{2}\), угол \(C\) равен \(135^{\circ}\). Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

(ЕГЭ 2019)

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны \(82^{\circ}\) и \(58^{\circ}\). Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

(ЕГЭ 2018)

Стороны параллелограмма равны 9 и 15 . Высота, опущенная на первую сторону, равна 10 .
Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.

(ЕГЭ 2021)

В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен \(38^{\circ}\). Найдите больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

(ЕГЭ 2021)

Основания трапеции равны 5 и 9. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

(ЕГЭ 2021)

Острый угол \(B\) прямоугольного треугольника \(A B C\) равен \(61^{\circ}\). Найдите угол между высотой \(C H\) и биссектрисой \(C D\), проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

(ЕГЭ 2022)

В четырёхугольник \(A B C D\), периметр которого равен 54 , вписана окружность, \(A B=18\). Найдите длину стороны \(C D\).

(ЕГЭ 2022)

В четырёхугольник \(A B C D\) вписана окружность, \(A B=10\) и \(C D=17\). Найдите периметр четырёхугольника \(A B C D\).

(ЕГЭ 2022)

Найдите центральный угол \(A O B\), если он на \(67^{\circ}\) больше вписанного угла \(A C B\), опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.

В окружности с центром \(O A C\) и \(B D\) - диаметры. Центральный угол \(A O D\) равен \(122^{\circ}\). Найдите вписанный угол \(A C B\). Ответ дайте в градусах.

(ЕГЭ 2023)

У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?

(ЕГЭ 2023)

Площадь параллелограмма \(A B C D\) равна 132. Точка \(G\) - середина стороны \(C D\). Найдите площадь трапеции \(A B G D\).

(ЕГЭ 2023)

Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 38 , средняя линия равна 11. Найдите боковую сторону трапеции.

(ЕГЭ 2023)

Острый угол \(B\) прямоугольного треугольника равен \(21^{\circ}\). Найдите величину угла между биссектрисой \(C D\) и медианой \(C M\), проведёнными из вершины прямого угла \(C\). Ответ дайте в градусах.

(ЕГЭ 2023)

Острый угол \(B\) прямоугольного треугольника равен \(66^{\circ}\). Найдите угол между высотой \(C H\) и медианой \(C M\), проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

(ФИПИ)

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, равную \(\frac{1}{5}\) окружности. Ответ дайте в градусах.

(ФИПИ)

На окружности отмечены точки \(A, B\) и \(C\). Дуга окружности \(A C\), не содержащая точку \(B\), составляет \(200^{\circ}\). Дуга окружности \(B C\), не содержащая точку \(A\), составляет \(80^{\circ}\). Найдите вписанный угол \(A C B\). Ответ дайте в градусах.

(ФИПИ)

В треугольнике \(A B C\) угол \(C\) равен \(58^{\circ}\), биссектрисы \(A D\) и \(B E\) пересекаются в точке \(O\). Найдите угол \(A O B\). Ответ дайте в градусах.

(ФИПИ)

В треугольнике \(A B C\) угол \(A\) равен \(56^{\circ}\), углы \(B\) и \(C\) - острые, высоты \(B D\) и \(C E\) пересекаются в точке \(O\) Найдите угол \(D O E\). Ответ дайте в градусах.

(ФИПИ)

В треугольнике \(A B C  A C=B C, A B=20\), высота \(A H\) равна 8 . Найдите синус угла \(B A C\).

(ФИПИ)

В треугольнике \(A B C  A C=B C, A B=15, A H-\) высота, \(B H=6\). Найдите косинус угла \(B A C\).

(ФИПИ)

В треугольнике \(ABC\),  \(AD-\) биссектриса, угол \(C\) равен \(104^{\circ}\), угол \(C A D\) равен \(6^{\circ}\). Найдите угол \(B\).

(ФИПИ)

Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны \(56^{\circ}\) п \(77^{\circ}\). Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

(ФИПИ)

Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен \(14^{\circ}\). Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

(ФИПИ)

В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен \(14^{\circ}\). Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

(ФИПИ)

Один угол параллелограмма больше другого на \(52^{\circ}\). Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах.

(ФИПИ)

Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 32 , её большая боковая сторона равна 9 Найдите радиуc окружности.

(ФИПИ)

Угол \(A C B\) равен \(54^{\circ}\). Градусная мера дуги \(A B\) окружности, не содержащей точек \(D\) и \(E\), равна \(138^{\circ}\). Найдите угол \(D A E\). Ответ дайте в градусах.

(ФИПИ)

Четырёхугольник \(A B C D\) вписан в окружность. Угол \(A B C\) равен \(82^{\circ}\), угол \(A B D\) равен \(47^{\circ}\). Найдите угол \(C A D\) Ответ дайте в градусах.

(ФИПИ)

Отрезки \(A C\) и \(B D\) - диаметры окружности с центром \(O\). Угол \(A O D\) равен \(114^{\circ}\). Найдите вписанный угол \(A C B\) Ответ дайте в градусах.

(ФИПИ)

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен \(30^{\circ}\). Боковая сторона треугольника равна 11. Найдите площадь этого треугольника.

(ФИПИ)

Стороны параллелограмма равны 9 и 15. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 10. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.

(ФИПИ)

В четырёхугольник \(A B C D\) вписана окружность, \(A B=22, C D=17.\) Найдите периметр четырёхугольника \(A B C D\).

(ФИПИ)

В четырёхугольник \(A B C D\) вписана окружность, \(A B=19, B C=7\) и \(C D=10\). Найдите четвёртую сторону четырёхугольника.

(ФИПИ)

Отрезки \(A C\) и \(B D\) - диаметры окружности с центром \(O\). Угол \(A O D\) равен \(68^{\circ}\). Найдите вписанный угол \(A C B\). Ответ дайте в градусах.

(ФИПИ)

Площадь треугольника \(A B C\) равна \(24, D E\) - средняя линия, параллельная стороне \(A B\). Найдите площадь треугольника \(C D E\).

(ФИПИ)

Отрезки \(A C\) п \(B D\) - диаметры окружности с центром \(O\). Угол \(A C B\) равен \(61^{\circ}\). Найдите угол \(A O D\). Ответ дайте в градусах.

(ФИПИ)

Найдите угол \(A C O\), если его сторона \(C A\) касается окружности с центром \(O\), отрезок \(C O\) пересекает окружность в точке \(B\), а дуга \(A B\) окружности, заключённая внутри этого угла, равна \(17^{\circ}\). Ответ дайте в градусах. 

(ФИПИ)

Найдите центральный угол, если он на \(28^{\circ}\) больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.

(ФИПИ)

В треугольнике \(A B C\) угол \(C\) равен \(90^{\circ}\), \(A B=5, \cos A=\frac{7}{25}\). Найдите \(B C\).

(ФИПИ)

В треугольнике \(A B C\) угол \(C\) равен \(90^{\circ}\), \(A B=4 \sqrt{5}, A C=8\). Найдите tg A.

(ФИПИ)

В треугольнике \(A B C\) угол \(C\) равен \(90^{\circ}\), \(C H-\) высота, \(A B=27, \sin A=\frac{2}{3}\). Найдите \(B H\).

(ФИПИ)

В треугольнике \(A B C\) известно, что \(A C=B C\), \(A B=8, \cos A=0,5\). Найдите \(A C\).

(ФИПИ)

Основания равнобедренной трапеции равны 17 и 87 . Высота трапеции равна 14. Найдите тангенс острого угла.

(ФИПИ)

Найдите диагональ квадрата, если его площадь равна 2.

(ФИПИ)

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен \(150^{\circ}\). Боковая сторона треугольника равна 20. Найдите площадь этого треугольника.

(ФИПИ)

Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 18 , и одна сторона на 3 больше другой.

(ФИПИ)

Периметр прямоугольника равен 28 , а диагональ равна 10. Найдите площадь этого прямоугольника.

(ФИПИ)

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, равную \(\frac{1}{3}\) окружности. Ответ дайте в градусах.

(ФИПИ)

На окружности отмечены точки \(A, B\) п \(C\). Дуга окружноспи \(A C\), не содержащая точку \(B\), составляет 220 . Дуга окружностп \(B C\), не содержащая точку \(A\), составляет 50 . Найдите вписанный угол \(A C B\). Ответ дайте в градусах.

(ФИПИ)

В треугольнике \(A B C\) угол \(C\) равен 50 , биссектрисы \(A D\) и \(B E\) пересекаются в точке \(O\). Найдите угол \(A O B\). Ответ дайте в градусах.

(ФИПИ)

В треугольнике \(A B C\) угол \(C\) равен 50 , углы \(B\) и \(C\) - острые, высоты \(B D\) и \(C E\) пересекаются в точке \(O\). Найдите угол \(D O E\). Ответ дайте в градусах.

(ФИПИ)

Площадь параллелограмма \(A B C D\) равна 153. Найдите площадь параллелограмма \(M N K L\), вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.

(ФИПИ)

В треугольнике \(A B C\) угол \(B\) равен \(45^{\circ}\), угол \(C\) равен \(85^{\circ}\), \(A D\) - биссектриса, \(E\) - такая точка на \(A B\), что \(A E=A C\). Найдите угол \(B D E\). Ответ дайте в градусах.

(ФИПИ)

В треугольнике \(A B C\) угол \(A\) равен \(60^{\circ}\), угол \(B\) равен \(82^{\circ}\) . \(A D, B E\)  и \(C F\) - биссектрисы, пересекающиеся в точке \(O\). Найдите угол \(A O F\). Ответ дайте в градусах.

(ФИПИ)

Найдите площадь ромба, если его высота равна 2 , а острый угол \(30^{\circ}\).

(ФИПИ)

Площадь прямоугольного треугольника равна 24. Один из его катетов на 2 больше другого. Найдите меньший катет.

(ФИПИ)

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5 , а основание равно 6. Найдите площадь этого треутольника.

(ФИПИ)

Площадь треугольника равна 54 , а его периметр 36 . Найдите радиус вписанной окружности.

(ФИПИ)

Высота трапеции равна 10, площадь равна 150. Найдите среднюю линию трапеции.

(ФИПИ)

Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26 , а её периметр равен 60 . Найдите площадь трапеции.

(ФИПИ)
Около окружности, радиус которой равен 3 , описан многоугольник, площадь которого равна 33. Найдите его периметр.

(ФИПИ)
Углы треугольника относятся как \(2: 3: 4\). Найдите меньший из них. Ответ дайте в градусах.

(ФИПИ)

В треугольнике \(A B C\) угол \(A\) равен \(30^{\circ}\), угол \(B\) - тупой, \(C H\) - высота, угол \(B C H\) равен \(22^{\circ}\). Найдите угол \(A C B\). Ответ дайте в градусах.

(ФИПИ)

В треугольнике \(A B C\) угол \(C\) равен \(90^{\circ}\), угол \(B\) равен \(58^{\circ}, C D\) - медиана. Найдите угол \(A C D\). Ответ дайте в градуcax.

(ФИПИ)
Острый угол прямоугольного треугольника равен \(32^{\circ}\). Найдите острый угол, образованный биссектрисами этого и прямого углов треугольника. Ответ дайте в градусах.

(ФИПИ)
Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

(ФИПИ)
Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении \(4: 3\), считая от вершины острого утла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.

(ФИПИ)

В трапеции \(A B C D\) меньее основание \(B C\) равно 4 , прямая \(B E\) параллельна боковой стороне \(C D\). Найдите периметр трапеции \(A B C D\), если периметр треугольника \(A B E\) равен 15.

(ФИПИ)

Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

(ФИПИ)

Диагонали четырёхугольника равны 4 и 5. Найдите периметр четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырёхутольника.

(ФИПИ)

Радиус окружности равен 1. Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

(ФИПИ)
Хорда \(A B\) стягивает дугу окружности в \(92^{\circ}\). Найдите угол \(A B C\) между этой хордой и касательной к окружности, проведённой через точку \(B\). Ответ дайте в градусах.

(ФИПИ)
Через концы \(A\) и \(B\) дуги окружности с центром \(O\) проведены касательные \(A C\) и \(B C\). Угол \(C A B\) равен \(32^{\circ}\). Найдите угол \(A O B\). Ответ дайте в градусах.

(ФИПИ)

Сторона правильного треугольника равна \(\sqrt{3}\). Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

(ФИПИ)

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. Найдите гипотенузу этого треугольника.

(ФИПИ)
Сторона правильного треугольника равна \(\sqrt{3}\). Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник. 

(ФИПИ)
Острый угол ромба равен \(30^{\circ}\). Радиус окружности, вписанной в этот ромб, равен 2. Найдите сторону ромба.

(ФИПИ)
Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен \(\sqrt{3}\).

(ФИПИ)
Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 40 , основание равно 48 . Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

(ФИПИ)
Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22 , средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.

(ФИПИ)
Площадь параллелограмма \(A B C D\) равна 153. Найдите площадь параллелограмма \(M N K L\), вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.

(ФИПИ)
В треугольнике \(A B C\) угол \(B\) равен \(45^{\circ}\), угол \(C\) равен \(85^{\circ}, A D-\) биссектриса, \(E\) - такая точка на \(A B\), что \(A E=A C\). Найдите угол \(B D E\). Ответ дайте в градусах.

(ФИПИ)
В треугольнике \(A B C\) угол \(A\) равен \(60^{\circ}\), угол \(B\) paвен \(82^{\circ} . A D, B E\) и \(C F\) - биссектрисы, пересекающиеся в точке \(O\). Найдите угол \(A O F\). Ответ дайте в градусах.