В треугольник \(ABC\) вписана окружность радиуса \(R\), касающаяся стороны \(AC\) в точке \(D\), причём \(AD = R\).
а) Докажите, что треугольник \(ABC\) прямоугольный.
б) Вписанная окружность касается сторон \(AB\) и \(BC\) в точках \(E\) и \(F\). Найдите площадь треугольника \(BEF\), если \(R = 5\) и \(CD = 15\).

В равнобедренном тупоугольном треугольнике \(ABC\) на продолжение боковой стороны \(BC\) опущена высота \(AH\). Из точки \(H\) на сторону \(AB\)
и основание \(AC\) опущены перпендикуляры \(HK\) и \(HM\) соответственно.

а) Докажите, что отрезки \(AM\) и \(MK\) равны.
б) Найдите \(MK\), если \(AB = 5\), \(AC = 8\).

Высоты \(BB_1\) и \(CC_1\) остроугольного треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(H\).
а) Докажите, что \(\angle AHB_1 = \angle ACB\).
б) Найдите \(BC\), если \(AH = 8\sqrt{3}\) и \(\angle BAC = 60^o\).