В треугольнике \(ABC\) \(\angle ABC=60^o\). Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны \(AC\) в точке \(M\).
а) Докажите, что отрезок \(BM\) не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.
б) Найдите \(\sin \angle BMC\), если известно, что отрезок \(BM\) в 2,5 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.

В остроугольном треугольнике \(ABC\) проведены высоты \(AP\) и \(CQ\).
а) Докажите, что угол \(PAC\) равен углу \(PQC\).
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника \(ABC\), если известно, что \(PQ = 8\) и \(\angle ABC = 60^o\).

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) точка \(M\) лежит на катете \(AC\), а точка \(N\) лежит на продолжении катета \(BC\) за точку \(C\), причём \(CM=BC\) и \(CN = AC\). Отрезки \(CP\) и \(CQ\) — биссектрисы треугольников \(ACB\) и \(NCM\) соответственно.
а) Докажите, что \(CP\) и \(CQ\) перпендикулярны.
б) Найдите \(PQ\), если \(BC = 3\), а \(AC = 5\).

В остроугольном треугольнике \(ABC\) провели высоту \(BH\). Из точки \(H\) на стороны \(AB\) и \(BC\) опустили перпендикуляры \(HK\) и \(HM\) соответственно.
а) Докажите, что треугольник \(MBK\) подобен треугольнику \(ABC\).
б) Найдите отношение площади треугольника \(MBK\) к площади четырёхугольника \(AKMC\), если \(BH = 3\), а радиус окружности, описанной около треугольника \(ABC\) равен 4.