Из точки, расположенной вне окружности на расстоянии \(\sqrt{7}\) от центра, проведена секущая, внутренняя часть которой вдвое меньше внешней и равна радиусу окружности. Найдите радиус окружности.

В окружности с центром \(O\) проведены хорды \(AB\) и \(CD\), пересекающиеся в точке \(M\), причём \(AM = 4\), \(MB=1\), \(CM = 2\). Найдите угол \(OMC\).

Окружность проходит через вершины \(A\) и \(C\) треугольника \(ABC\), пересекая сторону \(AB\) в точке \(E\) и сторону \(BC\) в точке \(F\). Угол \(AEC\) в 5 раз больше угла \(BAF\), а угол \(ABC\) равен \(72^o\), Найдите радиус окружности, если \(AC=6\).

Диагонали трапеции перпендикулярны боковым сторонам. 
а) Докажите, что трапеция равнобедренная.
б) Найдите площадь трапеции, если её основания равны 10 и 26.

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) угол \(A\) прямой, катет \(AB\) равен \(a\), радиус вписанной окружности равен \(r\). Вписанная окружность касается катета \(AC\) в точке \(D\). Найдите хорду, соединяющую точки пересечения окружности с прямой \(BD\).

В окружность вписан четырёхугольник \(ABCD\), причём \(AB\) является диаметром окружности. Диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(M\). Известно, что \(BC=3\), \(CM=\dfrac{3}{4}\), а площадь треугольника \(ABC\) втрое больше площади треугольника \(ACD\). Найдите \(AM\).

Точка \(M\) — середина гипотенузы \(AB\) прямоугольного треугольника \(ABC\). На отрезке \(CM\) как на диаметре построена окружность.
а) Докажите, что она проходит через середины катетов.
б) \(AP\) и \(BQ\) — касательные к этой окружности (\(P\) и \(Q\) — точки касания). Найдите отношение \(AP:BQ\), если \(tg \angle ABC = 2\).

Около треугольника \(ABC\) описана окружность. Касательная к окружности, проходящая через точку \(B\), пересекает прямую \(AC\) в точке \(M\).
а) Докажите, что треугольники \(AMB\) и \(BMC\) подобны. 
б) Найдите отношение \(AM: MC\), если \(AB:BC = 3 : 2\).

Окружность касается сторон угла с вершиной \(A\) в точках \(B\) и \(C\). Найдите градусные меры дуг, на которые окружность делится точками \(B\) и \(C\), если \(\angle BAC = 70^o\).

Треугольник \(ABC\) равнобедренный. Радиус \(OA\) описанного круга образует с основанием \(AC\) угол \(OAC\), равный \(20^o\). Найдите угол \(BAC\).

Окружность описана около равностороннего треугольника \(ABC\). На дуге \(BC\), не содержащей точку \(A\), расположена точка \(M\), делящая градусную меру этой дуги в отношении 1: 2. Найдите углы треугольника \(AMB\).

Вне правильного треугольника \(ABC\), но внутри угла \(BAC\) взята точка \(M\) так, что угол \(CMA\) равен \(30^o\) и угол \(BMA\) равен \(\alpha\). Найдите угол \(ABM\).

В трапеции \(MNPQ\) \((MQ || NP)\) угол \(NQM\) в два раза меньше угла \(MPN\). Известно, что 13 \(NP=MP=\dfrac{13}{2}, MQ=12\). Найдите площадь трапеции.

В треугольнике \(ABC\) известно, что \(\angle BAC = 60^o\), \(\angle ABC=45^o\). Продолжения высот треугольника \(ABC\) пересекают описанную около него окружность в точках \(M, N, P\).
а) Докажите, что треугольник \(MNP\) прямоугольный. 
б) Найдите площадь треугольника \(MNP\), если \(BC=12\).