В треугольнике \(ABC\) проведена биссектриса \(AM\). Прямая, проходящая через вершину \(B\) перпендикулярно \(AM\), пересекает сторону \(AC\) в точке \(N\); \(AB = 6\), \(BC = 5\), \(AC = 9\).
а) Докажите, что биссектриса угла \(C\) делит отрезок \(MN\) пополам.
б) Пусть \(P\) — точка пересечения биссектрис треугольника \(ABC\). Найдите отношение \(AP:PN\).

В равнобедренной трапеции \(ABCD\) основание \(AD\) в три раза больше основания \(BC\).
а) Докажите, что высота \(CH\) трапеции разбивает основание \(AD\) на отрезки, один из которых вдвое больше другого.
б) Найдите расстояние от вершины \(C\) до середины диагонали \(BD\), если \(AD = 15\) и \(AC = 2\sqrt{61}\).

В равнобедренной трапеции \(ABCD\) основание \(AD\) в два раза больше основания \(BC\).
а) Докажите, что высота \(CH\) трапеции разбивает основание \(AD\) на отрезки, один из которых втрое больше другого.
б) Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей трапеции \(ABCD\). Найдите расстояние от вершины \(C\) до середины отрезка \(OD\), если \(BC=16\) и \(AB = 10\).

В треугольнике \(ABC\) биссектрисы \(AD\) и \(CE\) пересекаются в точке \(O\), величина угла \(AOC\) составляет \(120^o\).
а) Докажите, что около четырёхугольника \(BDOE\) можно описать окружность.
б) Найдите площадь треугольника \(ABC\), если \(BC = 4\), а \(\angle BED= 75^o\).