Теорема Виета при решении квадратного уравнения

Пусть дано квадратное уравнение вида

\( a x^2+bx+c=0, \) \( a \neq 0 \)

При \(D \geqslant 0\) уравнение имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\) (при \(D=0\), совпадающие) которые можно найти, решив систему:

\begin{equation*}
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\
x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}
\end{array}\right.
\end{equation*}

Решать уравнение через теорему Виета удобно, если \( a=1\)

\(x^2+b x+c=0\)

\begin{equation}
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2=-b\\
x_1\cdot x_2=c
\end{array}\right.
\end{equation}

Пример 1.

Решить уравнение \(x^2-3 x-4=0\)

\begin{equation*}
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2=3\\
x_1\cdot x_2=-4
\end{array}\right.
\end{equation*}

Начинаем искать, произведение каких чисел будет равно \(-4\)

\(1 \cdot -4\) ; \(-1 \cdot 4\); \(-2 \cdot 2\)

Среди данных вариантов выбираем, чья сумма равна \(3\). Это \(-1+4=3\)

Значит \(x_1=-1\) и \(x_2=4\)

Записаться на пробный урок ЕГЭ по профильной математике https://marseltutor.ru/

Что еще можно понять про корни, пользуясь теоремой Виета

Если в уравнении \(x^2+b x+c=0\)

1. \(c<0\) - корни разного знака.  Если \(x_1+x_2=-b>0\) - больший по модулю корень положительный. Если \(x_1+x_2=-b<0\) - больший по модулю корень отрицательный. 

2. \(с>0\) - корни одинакового знака. Если \(x_1+x_2=-b>0\) - оба корня положительные. Если \(x_1+x_2=-b<0\) - оба корня отрицательные. 

Метод "переброски"

Неприведённое квадратное уравнение \(a x^2+b x+c=0 \) можно решать так:

1. Перенести коэффициент \(a\) к коэффициенту \(c\)

\(x^2+b x+a c=0\) 

2.  Решить по теореме Виета уравнение \(m^2+b m+a c=0\)

3. Корни исходного уравнения будут равны \(x_1=\frac{m_1}{a}\) и \(x_2=\frac{m_2}{a}\).

Пример 2.

\(5 x^2-6 x+1=0\)

"Перебросим" коэффициент 5 к свободному члену:

\(m^2-6 m+1\cdot 5=0\)

Корни данного уравнения по теореме Виета

\(m_1=1\) и \(m_2=5\)

Тогда корни исходного уравнения: \(x_1=\frac{m_1}{5}=\frac{1}{5}\); \(x_2=\frac{m_2}{5}=\frac{5}{5}=1\)

Лайфхак решения уравнения с помощью теоремы Виета

Пусть дано уравнение \(a x^2+b x+c=0\)

1) \(x=1\) - корень, если сумма коэффициентов \(a+b+c=0\)
2) \(x=-1\) - корень, если сумма коэффициентов \(a-b+c=0\)

Пример 3

\(15 x^2-13 x-2=0\)

Сумма коэффициентов: 15-3-2=0, значит \(x_1=1\), тогда \(x_1 x_2=1 \cdot x_2=-\frac{2}{15} \), отсюда \(x_2=-\frac{31}{13}\)