Запишем первое уравнение в виде
\begin{equation*}
\frac{(y-3)(x y-3)}{\sqrt{x+3}}=0 .
\end{equation*}

При \(x \leq-3\) левая часть не имеет смысла.
При \(x>-3\) уравнение задаёт прямую \(y=3\) и гиперболу \(y=\frac{3}{x}\) (см. рисунок)

При каждом значении а уравнение \(y=a x\) задаёт прямую с угловым коэффициентом \(a\), проходящую через начало координат.

При \(x>-3\) такая прямая пересекает прямую \(y=3\) при \(a<-1\) и \(a>0\), пересекает правую ветвь гиперболы \(y=\frac{3}{x}\) при \(a>0\), пересекает левую ветвь гиперболы \(y=\frac{3}{x}\) при \(a>\frac{1}{3}\). При этом прямая \(y=a x\) проходит через точку пересечения прямой \(y=3\) и гиперболы \(y=\frac{3}{x}\) при \(a=3\).
Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой \(y=3\) и гиперболы \(y=\frac{3}{x}\) с прямой \(y=a x\) при условии \(x>-3\).
Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при
\begin{equation*}
0<a \leq \frac{1}{3} ; a=3 .
\end{equation*}

Исходное уравнение равносильно уравнению \(x^4-x^2+a^2=\left(x^2+x-a\right)^2\) при условии \(x^2+x-a \geq 0\).
Решим уравнение \(x^4-x^2+a^2=\left(x^2+x-a\right)^2\) :
\begin{equation*}
\begin{gathered}
x^4-x^2+a^2=x^4+2 x^3+(1-2 a) x^2-2 a x+a^2 ; \\
x^3+(1-a) x^2-a x=0 ; x(x+1)(x-a)=0,
\end{gathered}
\end{equation*}

откуда \(x=0, x=-1\) или \(x=a\).
Исходное уравнение имеет три корня, когда эти числа различны и для каждого из них выполнено условие \(x^2+x-a \geq 0\).
Рассмотрим условия совпадения корней. При \(a=0\) и \(a=-1\) уравнение имеет не более двух различных корней. При остальных значениях \(a\) числа 0 , -1, \(a\) различны.
При \(x=0\) получаем:
\begin{equation*}
x^2+x-a=-a .
\end{equation*}

Это выражение неотрицательно при \(a \leq 0\).
При \(x=-1\) получаем:
\begin{equation*}
x^2+x-a=-a .
\end{equation*}
Это выражение неотрицательно при \(a \leq 0\).
При \(x=a\) получаем: \(x^2+x-a=a^2 \geq 0\) при всех значениях \(a\).
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно три различных корня при
\begin{equation*}
a<-1 ;-1<a<0 .
\end{equation*}

Исходное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда уравнение \(t-a=\sqrt{t^2-a}\) имеет единственный положительный корень.
При \(t<a\) левая часть полученного уравнения отрицательная, а правая неотрицательная, поэтому полученное уравнение не имеет корней, меньших \(a\).
При \(t \geq a\) получаем:
\begin{equation*}
t^2-2 a t+a^2=t^2-a ; 2 a t=a^2+a .
\end{equation*}

При \(a=0\) любое положительное значение \(t\) является корнем уравнения.
При \(a \neq 0\) получаем единственный корень: \(t=\frac{a+1}{2}\). Для этого корня должны выполняться условия \(t \geq a\) и \(t>0\).
Условие \(\frac{a+1}{2} \geq a\) выполняется при \(a \leq 1\).
Условие \(\frac{a+1}{2}>0\) выполняется при \(a>-1\).
Таким образом, исходное уравнение имеет единственньй корень при
\begin{equation*}
-1<a<0 ; 0<a \leq 1 .
\end{equation*}

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.
Рассмотрим три случая.
1) Если \(x>0\), то получаем уравнение
\begin{equation*}
\begin{gathered}
x\left(x^2+y^2-y-2\right)=x(y-2) ; \\
x^2+y^2-2 y=0 ; x^2+(y-1)^2=1 .
\end{gathered}
\end{equation*}

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке \(Q(0 ; 1)\) и радиусом 1 .

2) Если \(x=0\), то координаты любой точки прямой \(x=0\) удовлетворяют уравнению.
3) Если \(x<0\), то получаем уравнение
\begin{equation*}
x\left(x^2+y^2-y-2\right)=x(2-y) ; x^2+y^2-4=0 ; x^2+y^2=4 \text {. }
\end{equation*}

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке \(O(0 ; 0)\) и радиусом 2 .
Таким образом, в первом случае получаем дугу \(\omega_1\) окружности \(x^2+(y-1)^2=1\) с концами в точках \(O\) и \(A(0 ; 2)\), во втором - прямую \(l\), задаваемую уравнением \(x=0\), в третьем - дугу \(\omega_2\) окружности \(x^2+y^2=4\) с концами в точках \(A\) и \(B(0 ;-2)\) (см. рисунок).

Рассмотрим второе уравнение системы. При каждом значении \(a\) оно задаёт прямую \(m\), параллельную прямой \(y=x\) или совпадающую с ней.
Прямые \(m\) проходят через точки \(B\), \(O\) и \(A\) при \(a=-2, a=0\) и \(a=2\) соответственно.
При \(a=1-\sqrt{2}\) и \(a=2 \sqrt{2}\) прямые \(m\) касаются дуг \(\omega_1\) и \(\omega_2\) соответственно. Таким образом, прямая \(m\) пересекает прямую \(l\) при любом значении \(a\), имеет одну общую точку с дугой \(\omega_1\) при \(a=1-\sqrt{2}\) и \(0<a \leq 2\), имеет две общие точки с дугой \(\omega_1\) при \(1-\sqrt{2}<a \leq 0\), имеет одну общую точку с дугой \(\omega_2\) при \(-2 \leq a<2\) и \(a=2 \sqrt{2}\), имеет две общие точки с дугой \(\omega_2\) при \(2 \leq a<2 \sqrt{2}\).
Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой \(l\) и дуг \(\omega_1\) и \(\omega_2\) с прямой \(m\). Таким образом, исходная система имеет ровно три решения при
\begin{equation*}
a=1-\sqrt{2} ; 0 \leq a<2 ; 2<a<2 \sqrt{2} \text {. }
\end{equation*}

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.
Рассмотрим три случая.
1) Если \(x>0\), то получаем уравнение
\begin{equation*}
\begin{gathered}
x\left(x^2+y^2+y-x-2\right)=x\left(x^2+y^2-y+x\right) \\
2 y-2 x-2=0 ; y=x+1
\end{gathered}
\end{equation*}

Полученное уравнение задаёт прямую \(y=x+1\).
2) Если \(x=0\), то координаты любой точки прямой \(x=0\) удовлетворяют уравнению.
3) Если \(x<0\), то получаем уравнение

\begin{equation*}
x\left(x^2+y^2+y-x-2\right)=x\left(y-x-x^2-y^2\right) ; 2 x^2+2 y^2-2=0 ; x^2+y^2=1 .
\end{equation*}

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке \(O(0 ; 0)\) и радиусом 1 .
Таким образом, в первом случае мы получаем луч \(r\) с началом в точке \(A(0 ; 1)\), во втором - прямую \(l\), задаваемую уравнением \(x=0\), в третьем - дугу \(\omega\) окружности \(x^2+y^2=1\) с концами в точках \(A\) и \(B(0 ;-1)\).

Рассмотрим второе уравнение системы. При каждом значении а оно задаёт прямую \(m\), которая проходит через точку \((-2 ; 0)\) и угловой коэффициент которой равен \(a\).
Прямые \(m\) проходят через точки \(B\) и \(A\) при \(a=-\frac{1}{2}\) и \(a=\frac{1}{2}\) соответственно. При \(a=-\frac{\sqrt{3}}{3}\) и \(a=\frac{\sqrt{3}}{3}\) прямые \(m\) касаются дуги \(\omega\).
Таким образом, прямая \(m\) пересекает прямую \(l\) при любом значении \(a\), пересекает луч \(r\) при \(\frac{1}{2} \leq a<1\), имеет одну общую точку с дугой \(\omega\) при \(a=-\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{1}{2}<a<\frac{1}{2}\) и \(a=\frac{\sqrt{3}}{3}\), имеет две общие точки с дугой \(\omega\) при \(-\frac{\sqrt{3}}{3}<a \leq-\frac{1}{2}\) и \(\frac{1}{2} \leq a<\frac{\sqrt{3}}{3}\).
Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой \(l\), луча \(r\) и дуги \(\omega\) с прямой \(m\). Таким образом, исходная система имеет ровно три решения при
\begin{equation*}
-\frac{\sqrt{3}}{3}<a<-\frac{1}{2} ; a=\frac{\sqrt{3}}{3} \text {. }
\end{equation*}