Корнями исходного уравнения являются корни уравнения \(2 a-x^2+3 x=0\), для которых выполнено условие \(x-a^2 \neq 0\).
Уравнение \(2 a-x^2+3 x=0\) задаёт на плоскости \(O x a\) параболу \(\omega\), ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке \(\left(\frac{3}{2} ;-\frac{9}{8}\right)\). Значит, это уравнение имеет два корня при \(a>-\frac{9}{8}\), имеет один корень при \(a=-\frac{9}{8}\) и не имеет корней при \(a<-\frac{9}{8}\).
Уравнение \(x-a^2=0\) задаёт параболу \(x=a^2\).
Координаты точек пересечения параболы \(\omega\) с параболой \(x=a^2\) являются решениями системы уравнений:
\begin{equation*}
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array} { l } 
{ 2 a - x ^ { 2 } + 3 x = 0 , } \\
{ x = a ^ { 2 } ; }
\end{array} \left\{\begin{array}{l}
2 a-a^4+3 a^2=0, \\
x=a^2 ;
\end{array}\left\{\begin{array}{l}
a\left(a^3-3 a-2\right)=0 \\
x=a^2
\end{array}\right.\right.\right. \\
& \left\{\begin{array}{l}
a(a+1)^2(a-2)=0, \\
x=a^2 .
\end{array}\right. \\
&
\end{aligned}
\end{equation*}

Значит, парабола \(\omega\) пересекается с параболой \(x=a^2\) в точках \((0 ; 0),(1 ;-1)\) и \((4 ; 2)\).
Следовательно, условие \(x-a^2+0\) выполнено для корней уравнения \(2 a-x^2+3 x=0\) при всех \(a\), кроме \(a=-1, a=0\) и \(a=2\).
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два корня при \(-\frac{9}{8}<a<-1\); \(-1<a<0 ; 0<a<2 ; a>2\).

Корнями исходного уравнения являются корни уравнения \(x^2-a(a+1) x+a^3=0\), для которых выполнено условие \(2+x-x^2>0\).
Поскольку
\begin{equation*}
x^2-a(a+1) x+a^3=(x-a)\left(x-a^2\right),
\end{equation*}

уравнение \(x^2-a(a+1) x+a^3=0\) задаёт на плоскости Oxa параболу \(x=a^2\) и прямую \(x=a\), пересекающиеся в точках \((0 ; 0)\) и \((1 ; 1)\). Значит, это уравнение имеет один корень при \(a=0\) и \(a=1\) и имеет два корня при остальных значениях \(a\).
Координаты точек параболы \(x=a^2\), удовлетворяющие неравенству \(2+x-x^2>0\), являются решениями системы:

\(\left\{\begin{array}{l}2+x-x^2>0, \\ x=a^2 ;\end{array}\left\{\begin{array}{l}(x-2)(x+1)<0, \\ x=a^2 ;\end{array}\left\{\begin{array}{l}\left(a^2-2\right)\left(a^2+1\right)<0, \\ x=a^2 ;\end{array}\left\{\begin{array}{l}-\sqrt{2}<a<\sqrt{2}, \\ x=a^2 .\end{array}\right.\right.\right.\right.\)

Координаты точек прямой \(x=a\), удовлетворяющие неравенству \(2+x-x^2>0\), являются решениями системы:

\(\left\{\begin{array}{l}2+x-x^2>0, \\ x=a ;\end{array}\left\{\begin{array}{l}(x-2)(x+1)<0, \\ x=a ;\end{array}\left\{\begin{array}{l}(a-2)(a+1)<0, \\ x=a ;\end{array}\left\{\begin{array}{l}-1<a<2, \\ x=a .\end{array}\right.\right.\right.\right.\)

Следовательно, условие \(2+x-x^2>0\) выполнено для всех корней уравнения \(x^2-a(a+1) x+a^3=0\) при \(-1<a<\sqrt{2}\).
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два корня при \(-1<a<0\); \(0<a<1 ; 1<a<\sqrt{2}\).