Первое уравнение системы равносильно уравнению
\begin{equation*}
(x-1)^2+(y-1)^2=2 \text {. }
\end{equation*}

Это уравнение задаёт окружность \(\omega_1\) с центром в точке \((1 ; 1)\) радиусом \(\sqrt{2}\).
Второе уравнение системы равносильно уравнению
\begin{equation*}
(x-a-1)^2+(y-1+a)^2=2 \text {. }
\end{equation*}

Это уравнение задаёт окружность \(\omega_2\) с центром в точке \((1+a ; 1-a)\) радиусом \(\sqrt{2}\).
Расстояние между центрами окружностей \(\omega_1\) и \(\omega_2\) равно \(|a| \cdot \sqrt{2}\). Таким образом, при \(a=0\) окружности \(\omega_1\) и \(\omega_2\) совпадают, при \(0<|a|<2\), то есть при \(-2<a<0\) и \(0<a<2\), окружности \(\omega_1\) и \(\omega_2\) пересекаются в двух точках, при \(a=-2\) и \(a=2\) окружности \(\omega_1\) и \(\omega_2\) касаются, а при других значениях \(a\) окружности \(\omega_1\) и \(\omega_2\) не имеют общих точек.
Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно два решения при \(-2<a<0 ; 0<a<2\).

Поскольку \(\left|x^2-(2 a+1) x+a^2+a\right|=|x-a| \cdot|x-a-1|\), точки \(0, a \) и \(a+1\) разбивают числовую прямую на промежутки, на каждом из которых уравнение \(y=f(x)\) задаёт часть параболы. Таким образом, наименьшее значение функции \(f(x)\) достигается либо в одной из вершин этих парабол, либо в одной из точек \(0, a\) и \(a+1\).
В зависимости от знаков выражений \(x\) и \(x^2-(2 a+1) x+a^2+a\) уравнение \(y=f(x)\) принимает вид
\begin{equation*}
\begin{gathered}
y=x^2-2(a+1) x+a^2+a, y=x^2-2(a-1) x+a^2+a \\
y=-x^2+2 a x-a^2-a \text { или } y=-x^2+2(a+2) x-a^2-a .
\end{gathered}
\end{equation*}

Вершины заданных этими уравнениями парабол, ветви которых направлены вверх, имеют абсциссы \(a+1\) и \(a-1\). Таким образом, наименьшее значение функции \(f(x)\) больше -4 , если выполняется каждое из неравенств \(f(0)>-4, f(a-1)>-4, f(a)>-4\) и \(f(a+1)>-4\).
При \(f(0)>-4\) получаем: \(\left|a^2+a\right|>-4 ; a-\) любое.
При \(f(a-1)>-4\) получаем:
\begin{equation*}
a-2|a-1|+1>-4 ; 2|a-1|<a+5 ;-a-5<2 a-2<a+5,
\end{equation*}

откуда \(-1<a<7\).
При \(f(a)>-4\) получаем:
\begin{equation*}
a-2|a|>-4 ; 2|a|<a+4 ;-a-4<2 a<a+4,
\end{equation*}

откуда \(-\frac{4}{3}<a<4\).
При \(f(a+1)>-4\) получаем:
\begin{equation*}
a+1-2|a+1|>-4 ; 2|a+1|<a+5 ;-a-5<2 a+2<a+5,
\end{equation*}

откуда \(-\frac{7}{3}<a<3\).
Таким образом, наименьшее значение функции \(f(x)\) больше \(-4\) при \(-1<a<3\).

Рассмотрим функцию \(f(x)=3 \sin x+\cos x\). Производная этой функции равна \(f^{\prime}(x)=3 \cos x-\sin x\). Значит, функция \(f(x)\) возрастает на отрезке \(\left[\frac{\pi}{4} ; \operatorname{arctg} 3\right]\), убывает на отрезке \(\left[\operatorname{arctg} 3 ; \frac{3 \pi}{4}\right]\) и достигает максимума в точке \(\operatorname{arctg} 3\).
Заметим, что \(\sin (\operatorname{arctg} 3)=\frac{3 \sqrt{10}}{10}, \cos (\operatorname{arctg} 3)=\frac{\sqrt{10}}{10}\). Значит, \(f\left(\frac{\pi}{4}\right)=2 \sqrt{2}\), \(f\left(\frac{3 \pi}{4}\right)=\sqrt{2}, f(\operatorname{arctg} 3)=\sqrt{10}\). Таким образом, уравнение \(f(x)=a\) имеет на отрезке \(\left[\frac{\pi}{4} ; \frac{3 \pi}{4}\right]\) ровно один корень при \(\sqrt{2} \leq a<2 \sqrt{2}\) и \(a=\sqrt{10}\), имеет ровно два корня при \(2 \sqrt{2} \leq a<\sqrt{10}\) и не имеет корней при остальных значениях \(a\).

Корнями исходного уравнения являются корни уравнения \(x^2-6 x+a^2+2 a=0\), для которых выполнено условие \(2 x^2-a x-a^2 \neq 0\).
Уравнение \(x^2-6 x+a^2+2 a=0\) задаёт на плоскости \( O x a\) окружность \(\omega\) радиусом \(\sqrt{10}\) с центром в точке \((3 ;-1)\). Значит, это уравнение имеет два корня при \(-\sqrt{10}-1<a<\sqrt{10}-1\), имеет один корень при \(a=-\sqrt{10}-1\) и \(a=\sqrt{10}-1\) и не имеет корней при остальных значениях \(a\).
Поскольку \(2 x^2-a x-a^2=(x-a)(2 x+a)\), уравнение \(2 x^2-a x-a^2=0\) задаёт пару прямых \(l_1\) и \(l_2\), заданных уравнениями \(a=x\) и \(a=-2 x\) соответственно.
Координаты точек пересечения окружности \(\omega\) с прямой \(l_1\) являются решениями системы уравнений:
\begin{equation*}
\left\{\begin{array} { l } 
{ x ^ { 2 } - 6 x + a ^ { 2 } + 2 a = 0 , } \\
{ a = x ; }
\end{array} \left\{\begin{array}{l}
x^2-6 x+x^2+2 x=0,\left\{\begin{array}{l}
x(x-2)=0, \\
a=x
\end{array}\right. \\
a=x .
\end{array}\right.\right.
\end{equation*}

Значит, окружность \(\omega\) пересекается с прямой \(l_1\) в точках \((0 ; 0)\) и \((2 ; 2)\).
Координаты точек пересечения окружности \(\omega\) с прямой \(l_2\) являются решениями системы уравнений:
\begin{equation*}
\left\{\begin{array}{l}
x^2-6 x+a^2+2 a=0, \\
a=-2 x
\end{array},\left\{\begin{array}{l}
x^2-6 x+4 x^2-4 x=0, \\
a=-2 x
\end{array}\right.\right.
\end{equation*}

Значит, окружность \(\omega\) пересекается с прямой \(l_2\) в точках \((0 ; 0)\) и \((2 ;-4)\).
Следовательно, условие \(2 x^2-a x-a^2 \neq 0\) выполнено для корней уравнения \(x^2-6 x+a^2+2 a=0\) при всех \(a\), кроме \(a=-4, a=0\) и \(a=2\).
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два корня при \(-\sqrt{10}-1<a<-4 ;-4<a<0 ; 0<a<2 ; 2<a<\sqrt{10}-1\).

Корнями исходного уравнения являются корни уравнения \(x^2+x+a=0\), для которых выполнено условие \(x^2-2 x+a^2+6 a \neq 0\).
Уравнение \(x^2+x+a=0\) задаёт на плоскости \(O x a\) параболу \(a=-x^2-x\) с вершиной в точке \(\left(-\frac{1}{2} ; \frac{1}{4}\right)\). Значит, это уравнение имеет два корня при \(a<\frac{1}{4}\), имеет один корень при \(a=\frac{1}{4}\) и не имеет корней при \(a>\frac{1}{4}\).
Уравнение \(x^2-2 x+a^2+6 a=0\) задаёт окружность \(\omega\) радиусом \(\sqrt{10}\) с центром в точке \((1 ;-3\) ).
Координаты точек пересечения окружности \(\omega\) с параболой \(a=-x^2-x\) являются решениями системы уравнений:
\begin{equation*}
\begin{gathered}
\left\{\begin{array} { l } 
{ x ^ { 2 } - 2 x + a ^ { 2 } + 6 a = 0 , } \\
{ a = - x ^ { 2 } - x ; }
\end{array} \left\{\begin{array}{l}
x^2-2 x+x^4+2 x^3+x^2-6 x^2-6 x=0, \\
a=-x^2-x ;
\end{array}\right.\right. \\
\left\{\begin{array}{l}
x\left(x^3+2 x^2-4 x-8\right)=0, \\
a=-x^2-x ;
\end{array},\left\{\begin{array}{l}
x(x-2)(x+2)^2=0, \\
a=-x^2-x .
\end{array}\right.\right.
\end{gathered}
\end{equation*}

Значит, окружность \(\omega\) пересекается с параболой \(a=-x^2-x\) в точках \((0 ; 0)\), \((-2 ;-2)\) и \((2 ;-6)\).
Следовательно, условие \(x^2-2 x+a^2+6 a \neq 0\) выполнено для корней уравнения \(x^2+x+a=0\) при всех \(a\), кроме \(a=-6, a=-2\) и \(a=0\).
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два корня \(a<-6\); \(-6<a<-2 ;-2<a<0 ; 0<a<\frac{1}{4}\).

Корнями исходного уравнения являются корни уравнения \(x^2-4 x+a=0\), для которых выполнено условие \(5 x^2-6 a x+a^2 \neq 0\).
Уравнение \(x^2-4 x+a=0\) задаёт на плоскости \(Oxa\) параболу \(\omega\), ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке \((2 ; 4)\). Значит, это уравнение имеет два корня при \(a<4\), имеет один корень при \(a=4\) и не имеет корней при \(a>4\).
Поскольку \(5 x^2-6 a x+a^2=(x-a)(5 x-a)\), уравнение \(5 x^2-6 a x+a^2=0\) задаёт пару прямых \(l_1\) и \(l_2\), заданных уравнениями \(a=x\) и \(a=5 x\) соответственно.
Координаты точек пересечения параболы \(\omega\) с прямой \(l_1\) являются решениями системы уравнений:
\begin{equation*}
\left\{\begin{array}{l}
x^2-4 x+a=0, \\
a=x ;
\end{array},\left\{\begin{array}{l}
x^2-4 x+x=0, \\
a=x ;
\end{array}, \begin{array}{l}
x(x-3)=0, \\
a=x .
\end{array}\right.\right.
\end{equation*}

Значит, парабола \(\omega\) пересекается с прямой \(l_1\) в точках \((0 ; 0)\) и \((3 ; 3)\).
Координаты точек пересечения параболы \(\omega\) с прямой \(l_2\) являются решениями системы уравнений:
\begin{equation*}
\left\{\begin{array} { l } 
{ x ^ { 2 } - 4 x + a = 0 , } \\
{ a = 5 x }
\end{array} \left\{\begin{array}{l}
x^2-4 x+5 x=0, \\
a=5 x
\end{array},\left\{\begin{array}{l}
x(x+1)=0, \\
a=5 x .
\end{array}\right.\right.\right.
\end{equation*}

Значит, парабола \(\omega\) пересекается с прямой \(l_2\) в точках \((0 ; 0)\) и \((-1 ;-5)\).
Следовательно, условие \(5 x^2-6 a x+a^2 \neq 0\) выполнено для корней уравнения \(x^2-4 x+a=0\) при всех \(a\), кроме \(a=-5, a=0\) и \(a=3\).
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два корня при \(a<-5\); \(-5<a<0 ; 0<a<3 ; 3<a<4\).