Чтобы получить дополнительный функционал нужно войти.
(ЕГЭ,2020) Найдите все значения параметра , при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения
Решение
Первое уравнение системы равносильно уравнению
Это уравнение задаёт окружность с центром в точке радиусом .
Второе уравнение системы равносильно уравнению
Это уравнение задаёт окружность с центром в точке радиусом .
Расстояние между центрами окружностей и равно . Таким образом, при окружности и совпадают, при , то есть при и , окружности и пересекаются в двух точках, при и окружности и касаются, а при других значениях окружности и не имеют общих точек.
Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно два решения при .
Ответ
(ЕГЭ,2019) Найдите все значения , при каждом из которых наименьшее значение функции
больше -4 .
Решение
Поскольку , точки и разбивают числовую прямую на промежутки, на каждом из которых уравнение задаёт часть параболы. Таким образом, наименьшее значение функции достигается либо в одной из вершин этих парабол, либо в одной из точек и .
В зависимости от знаков выражений и уравнение принимает вид
Вершины заданных этими уравнениями парабол, ветви которых направлены вверх, имеют абсциссы и . Таким образом, наименьшее значение функции больше -4 , если выполняется каждое из неравенств и .
При получаем: любое.
При получаем:
откуда .
При получаем:
откуда .
При получаем:
откуда .
Таким образом, наименьшее значение функции больше при .
Ответ
(ЕГЭ,2019) Найдите все значения , при каждом из которых уравнение
имеет ровно один корень на отрезке .
Решение
Рассмотрим функцию . Производная этой функции равна . Значит, функция возрастает на отрезке , убывает на отрезке и достигает максимума в точке .
Заметим, что . Значит, , . Таким образом, уравнение имеет на отрезке ровно один корень при и , имеет ровно два корня при и не имеет корней при остальных значениях .
Ответ
(ЕГЭ,2019) Найдите все значения , при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Решение
Корнями исходного уравнения являются корни уравнения , для которых выполнено условие .
Уравнение задаёт на плоскости окружность радиусом с центром в точке . Значит, это уравнение имеет два корня при , имеет один корень при и и не имеет корней при остальных значениях .
Поскольку , уравнение задаёт пару прямых и , заданных уравнениями и соответственно.
Координаты точек пересечения окружности с прямой являются решениями системы уравнений:
Значит, окружность пересекается с прямой в точках и .
Координаты точек пересечения окружности с прямой являются решениями системы уравнений:
Значит, окружность пересекается с прямой в точках и .
Следовательно, условие выполнено для корней уравнения при всех , кроме и .
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два корня при .
Ответ
(ЕГЭ,2019) Найдите все значения , при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Решение
Корнями исходного уравнения являются корни уравнения , для которых выполнено условие .
Уравнение задаёт на плоскости параболу с вершиной в точке . Значит, это уравнение имеет два корня при , имеет один корень при и не имеет корней при .
Уравнение задаёт окружность радиусом с центром в точке ).
Координаты точек пересечения окружности с параболой являются решениями системы уравнений:
Значит, окружность пересекается с параболой в точках , и .
Следовательно, условие выполнено для корней уравнения при всех , кроме и .
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два корня ; .
Ответ
(ЕГЭ,2019) Найдите все значения , при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Решение
Корнями исходного уравнения являются корни уравнения , для которых выполнено условие .
Уравнение задаёт на плоскости параболу , ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке . Значит, это уравнение имеет два корня при , имеет один корень при и не имеет корней при .
Поскольку , уравнение задаёт пару прямых и , заданных уравнениями и соответственно.
Координаты точек пересечения параболы с прямой являются решениями системы уравнений:
Значит, парабола пересекается с прямой в точках и .
Координаты точек пересечения параболы с прямой являются решениями системы уравнений:
Значит, парабола пересекается с прямой в точках и .
Следовательно, условие выполнено для корней уравнения при всех , кроме и .
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два корня при ; .
Ответ