Корнями исходного уравнения являются корни уравнения \(9 x^2-a^2=0\), для которых выполнено условие \(x^2+8 x+16-a^2 \neq 0\).
Поскольку \(9 x^2-a^2=(3 x-a)(3 x+a)\), уравнение \(9 x^2-a^2=0\) задаёт на плоскости \(Oха\) пару прямых \(l_1\) и \(l_2\), заданных уравнениями \(a=3 x\) и \(a=-3 x\) соответственно. Значит, это уравнение имеет один корень при \(a=0\) и имеет два корня при \(a \neq 0\).
Поскольку
\begin{equation*}
x^2+8 x+16-a^2=(x+4-a)(x+4+a),
\end{equation*}

уравнение \(x^2+8 x+16-a^2=0\) задаёт пару прямых \(m_1\) и \(m_2\), заданных уравнениями \(a=x+4\) и \(a=-x-4\) соответственно.
Координаты точки пересечения прямых \(l_1\) и \(m_1\) являются решением системы уравнений:
\begin{equation*}
\left\{\begin{array} { l } 
{ a = 3 x , } \\
{ a = x + 4 ; }
\end{array} \left\{\begin{array}{l}
x+4=3 x, \\
a=x+4 ;
\end{array},\left\{\begin{array}{l}
x=2, \\
a=6 .
\end{array}\right.\right.\right.
\end{equation*}

Значит, прямые \(l_1\) и \(m_1\) пересекаются в точке \((2 ; 6)\).
Координаты точки пересечения прямых \(l_1\) и \(m_2\) являются решением системы уравнений:
\begin{equation*}
\left\{\begin{array} { l } 
{ a = 3 x , } \\
{ a = - x - 4 ; }
\end{array} \left\{\begin{array} { l } 
{ - x - 4 = 3 x , } \\
{ a = - x - 4 ; }
\end{array} \left\{\begin{array}{l}
x=-1, \\
a=-3 .
\end{array}\right.\right.\right.
\end{equation*}

Значит, прямые \(l_1\) и \(m_2\) пересекаются в точке \((-1 ;-3)\).
Координаты точки пересечения прямых \(l_2\) и \(m_1\) являются решением системы уравнений:
\begin{equation*}
\left\{\begin{array} { l } 
{ a = - 3 x ; } \\
{ a = x + 4 ; }
\end{array} \left\{\begin{array}{l}
x+4=-3 x, \\
a=x+4
\end{array},\left\{\begin{array}{l}
x=-1, \\
a=3 .
\end{array}\right.\right.\right.
\end{equation*}

Значит, прямые \(l_2\) и \(m_1\) пересекаются в точке \((-1 ; 3)\).
Координаты точки пересечения прямых \(l_2\) и \(m_2\) являются решением системы уравнений:
\begin{equation*}
\left\{\begin{array}{l}
a=-3 x \\
a=-x-4 ;
\end{array} ;\left\{\begin{array}{l}
-x-4=-3 x ; \\
a=-x-4
\end{array},\left\{\begin{array}{l}
x=2, \\
a=-6 .
\end{array}\right.\right.\right.
\end{equation*}

Значит, прямые \(l_2\) и \(m_2\) пересекаются в точке \((2 ;-6)\).
Следовательно, условие \(x^2+8 x+16-a^2 \neq 0\) выполнено для корней уравнения \(9 x^2-a^2=0\) при всех \(a\), кроме \(a=-6, a=-3, a=3\) и \(a=6\).
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два корня при \(a<-6\); \(-6<a<-3 ;-3<a<0 ; 0<a<3 ; 3<a<6 ; a>6\).

Заметим, что при \(x<-1\) и при \(x>1\) правая часть первого уравнения системы не определена, а при \(-1 \leq x \leq 1\) первое уравнение системы принимает вид:
\begin{equation*}
4-y^2=4-4 x^2 ; y^2=4 x^2 \text {, }
\end{equation*}

откуда \(y=2 x\) или \(y=-2 x\).
Второе уравнение системы равносильно уравнению \((x-a)(y-a)=0\), откуда \(x=a\) или \(y=a\).
Таким образом, решениями исходной системы являются пары чисел \((a ; 2 a)\), \((a ;-2 a),\left(\frac{a}{2} ; a\right),\left(-\frac{a}{2} ; a\right)\), для которых выполнено условие \(-1 \leq x \leq 1\).
Для пары \((a ; 2 a)\) условие \(-1 \leq x \leq 1\) принимает вид \(-1 \leq a \leq 1\).
Для пары \((a ;-2 a)\) условие \(-1 \leq x \leq 1\) принимает вид \(-1 \leq a \leq 1\).
Для пары \(\left(\frac{a}{2} ; a\right)\) условие \(-1 \leq x \leq 1\) принимает вид \(-2 \leq a \leq 2\).
Для пары \(\left(-\frac{a}{2} ; a\right)\) условие \(-1 \leq x \leq 1\) принимает вид \(-2 \leq a \leq 2\).
Пары \((a ; 2 a),(a ;-2 a),\left(\frac{a}{2} ; a\right),\left(-\frac{a}{2} ; a\right)\) совпадают при \(a=0\) и попарно различны при других значениях \(a\).
Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно два различных решения при \(-2 \leq a<-1 ; 1<a \leq 2\).

Заметим, что при \(x<0\) и при \(x>2\) левая часть первого уравнения системы не определена, а при \(0 \leq x \leq 2\) первое уравнение системы принимает вид:
\begin{equation*}
2 x-x^2=2 a y-a^2 y^2 ; a^2 y^2-x^2-2 a y+2 x=0 ;(a y-x)(a y+x-2)=0,
\end{equation*}

откуда \(a y-x=0\) или \(a y+x-2=0\).
При \(y=x^2\) и \(a>0\) уравнение \(a y-x=0\) принимает вид \(a x^2-x=0\), откуда \(x=0\) или \(x=\frac{1}{a}\).
При \(y=x^2\) и \(a>0\) уравнение \(a y+x-2=0\) принимает вид \(a x^2+x-2=0\), откуда \(x=\frac{-\sqrt{1+8 a}-1}{2 a}\) или \(x=\frac{\sqrt{1+8 a}-1}{2 a}\).
Для корня \(x=0\) условие \(0 \leq x \leq 2\) выполнено.
Для корня \(x=\frac{1}{a}\) условие \(0 \leq x \leq 2\) выполнено при \(a \geq \frac{1}{2}\).
При положительных \(a\) корень \(x=\frac{-\sqrt{1+8 a}-1}{2 a}\) отрицательный.
Для корня \(x=\frac{\sqrt{1+8 a}-1}{2 a}\) условие \(0 \leq x \leq 2\) при положительных \(a\) принимает вид:
\begin{equation*}
0 \leq \frac{\sqrt{1+8 a}-1}{2 a} \leq 2 ; 1 \leq \sqrt{1+8 a} \leq 4 a+1 ;\left\{\begin{array} { l } 
{ 8 a + 1 \geq 1 , } \\
{ 8 a + 1 \leq 1 6 a ^ { 2 } + 8 a + 1 ; }
\end{array} \left\{\begin{array}{l}
a \geq 0, \\
a^2 \geq 0,
\end{array}\right.\right.
\end{equation*}

откуда \(a \geq 0\).

Корни \(x=\frac{1}{a}\) и \(x=\frac{\sqrt{1+8 a}-1}{2 a}\) не равны нулю при положительных \(a\) и совпадают при
\begin{equation*}
\frac{\sqrt{1+8 a}-1}{2 a}=\frac{1}{a} ; \sqrt{1+8 a}=3 ; 1+8 a=9 ; a=1 .
\end{equation*}

Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно три различных решения при \(\frac{1}{2} \leq a<1 ; a>1\).

Заметим, что при \(|y| \geq 6\) левая часть первого уравнения системы не определена, а при \(-6<y<6\) первое уравнение системы принимает вид:
\begin{equation*}
36-y^2=36-a^2 x^2 ; y^2=a^2 x^2 \text {, }
\end{equation*}

откуда \(y=a x\) или \(y=-a x\).
При \(y=a x\) второе уравнение системы принимает вид:
\begin{equation*}
x^2+a^2 x^2=2 x+6 a x ;\left(a^2+1\right) x^2=(6 a+2) x,
\end{equation*}

откуда \(x=0\) или \(x=\frac{6 a+2}{a^2+1}\). В этих случаях получаем \(y=0\) и \(y=\frac{6 a^2+2 a}{a^2+1}\) соответственно.
При \(y=-a x\) второе уравнение системы принимает вид:
\begin{equation*}
x^2+a^2 x^2=2 x-6 a x ;\left(a^2+1\right) x^2=(2-6 a) x \text {, }
\end{equation*}

откуда \(x=0\) или \(x=\frac{2-6 a}{a^2+1}\). В этих случаях получаем \(y=0\) и \(y=\frac{6 a^2-2 a}{a^2+1}\) соответственно.
Таким образом, решениями исходной системы являются пары чисел \((0 ; 0)\), \(\left(\frac{6 a+2}{a^2+1} ; \frac{6 a^2+2 a}{a^2+1}\right),\left(\frac{2-6 a}{a^2+1} ; \frac{6 a^2-2 a}{a^2+1}\right)\), для которых выполнено условие \(-6<y<6\).
Для пары \((0 ; 0)\) условие \(-6<y<6\) выполнено.

Для пары \(\left(\frac{6 a+2}{a^2+1} ; \frac{6 a^2+2 a}{a^2+1}\right)\) условие \(-6<y<6\) принимает вид:
\begin{equation*}
-6<\frac{6 a^2+2 a}{a^2+1}<6 ;-3 a^2-3<3 a^2+a<3 a^2+3 ;\left\{\begin{array}{l}
6 a^2+a+3>0, \\
a-3<0,
\end{array}\right.
\end{equation*}

откуда \(a<3\), поскольку решением неравенства \(6 a^2+a+3>0\) является любое число.
Для пары \(\left(\frac{2-6 a}{a^2+1} ; \frac{6 a^2-2 a}{a^2+1}\right)\) условие \(-6<y<6\) принимает вид:
\begin{equation*}
-6<\frac{6 a^2-2 a}{a^2+1}<6 ;-3 a^2-3<3 a^2-a<3 a^2+3 ;\left\{\begin{array}{l}
6 a^2-a+3>0, \\
a+3>0,
\end{array}\right.
\end{equation*}

откуда \(a>-3\), поскольку решением неравенства \(6 a^2-a+3>0\) является любое число.
Пары \((0 ; 0)\) и \(\left(\frac{6 a+2}{a^2+1} ; \frac{6 a^2+2 a}{a^2+1}\right)\) совпадают при \(a=-\frac{1}{3}\).
Пары \((0 ; 0)\) и \(\left(\frac{2-6 a}{a^2+1} ; \frac{6 a^2-2 a}{a^2+1}\right)\) совпадают при \(a=\frac{1}{3}\).
Пары \(\left(\frac{6 a+2}{a^2+1} ; \frac{6 a^2+2 a}{a^2+1}\right)\) и \(\left(\frac{2-6 a}{a^2+1} ; \frac{6 a^2-2 a}{a^2+1}\right)\) совпадают при \(a=0\).
Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно два различных решения при \(a \leq-3 ; a=-\frac{1}{3} ; a=0 ; a=\frac{1}{3} ; a \geq 3\).

Заметим, что при \(|y|>4\) левая часть первого уравнения системы не определена, а при \(-4 \leq y \leq 4\) первое уравнение системы принимает вид:
\begin{equation*}
16-y^2=16-a^2 x^2 ; y^2=a^2 x^2 \text {, }
\end{equation*}

откуда \(y=a x\) или \(y=-a x\).
При \(y=a x\) второе уравнение системы принимает вид:
\begin{equation*}
x^2+a^2 x^2=8 x+4 a x ;\left(a^2+1\right) x^2=(4 a+8) x,
\end{equation*}

откуда \(x=0\) или \(x=\frac{4 a+8}{a^2+1}\). В этих случаях получаем \(y=0\) и \(y=\frac{4 a^2+8 a}{a^2+1}\) соответственно.
При \(y=-a x\) второе уравнение систе́мы принимает вид:
\begin{equation*}
x^2+a^2 x^2=8 x-4 a x ;\left(a^2+1\right) x^2=(8-4 a) x,
\end{equation*}

откуда \(x=0\) или \(x=\frac{8-4 a}{a^2+1}\). В этих случаях получаем \(y=0\) и \(y=\frac{4 a^2-8 a}{a^2+1}\) соответственно.
Таким образом, решениями исходной системы являются пары чисел \((0 ; 0)\), \(\left(\frac{4 a+8}{a^2+1} ; \frac{4 a^2+8 a}{a^2+1}\right),\left(\frac{8-4 a}{a^2+1} ; \frac{4 a^2-8 a}{a^2+1}\right)\), для которых выполнено условие \(-4 \leq y \leq 4\).
Для пары \((0 ; 0)\) условие \(-4 \leq y \leq 4\) выполнено.

Для пары \(\left(\frac{4 a+8}{a^2+1} ; \frac{4 a^2+8 a}{a^2+1}\right)\) условие \(-4 \leq y \leq 4\) принимает вид:
\begin{equation*}
-4 \leq \frac{4 a^2+8 a}{a^2+1} \leq 4 ;-a^2-1 \leq a^2+2 a \leq a^2+1 ;\left\{\begin{array}{l}
2 a^2+2 a+1 \geq 0, \\
2 a-1 \leq 0,
\end{array}\right.
\end{equation*}

откуда \(a \leq \frac{1}{2}\), поскольку решением неравенства \(2 a^2+2 a+1 \geq 0\) является любое число.
Для пары \(\left(\frac{8-4 a}{a^2+1} ; \frac{4 a^2-8 a}{a^2+1}\right)\) условие \(-4 \leq y \leq 4\) принимает вид:
\begin{equation*}
-4 \leq \frac{4 a^2-8 a}{a^2+1} \leq 4 ;-a^2-1 \leq a^2-2 a \leq a^2+1 ;\left\{\begin{array}{l}
2 a^2-2 a+1 \geq 0, \\
2 a+1 \geq 0,
\end{array}\right.
\end{equation*}

откуда \(a \geq-\frac{1}{2}\), поскольку решением неравенства \(2 a^2-2 a+1 \geq 0\) является любое число.
Пары \((0 ; 0)\) и \(\left(\frac{4 a+8}{a^2+1} ; \frac{4 a^2+8 a}{a^2+1}\right)\) совпадают при \(a=-2\).
Пары \((0 ; 0)\) и \(\left(\frac{8-4 a}{a^2+1} ; \frac{4 a^2-8 a}{a^2+1}\right)\) совпадают при \(a=2\).
Пары \(\left(\frac{4 a+8}{a^2+1} ; \frac{4 a^2+8 a}{a^2+1}\right)\) и \(\left(\frac{8-4 a}{a^2+1} ; \frac{4 a^2-8 a}{a^2+1}\right)\) совпадают при \(a=0\).
Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно два различных решения при \(a<-2 ;-2<a<-\frac{1}{2} ; a=0 ; \frac{1}{2}<a<2 ; a>2\).

Первое уравнение системы: \(\left\{\begin{array}{l}a>x^2 \\ {\left[\begin{array}{l}y=x \\ y=-x\end{array}\right.}\end{array}\right.\)
Второе уравнение системы с учетом \(y^2=x^2\) имеет вид: \(x^2-2 x-3 y=0\)
1) Если \(y=x\) (1): \(x^2-5 x=0 ; \quad x_1=0, y_1=0, x_2=5, y_2=5\)
2) Если \(y=-x\) (1): \(x^2+x=0 ; \quad x_3=0, y_3=0, x_4=-1, y_4=1\);

Два различных решения система будет иметь в следующих случаях:
А) \(\left\{\begin{array}{l}a>0 \\ a>25 \\ a \leq 1\end{array}\right.\) - нет решений
Б) \(\left\{\begin{array}{l}a>0 \\ a>1 \\ a \leq 25\end{array} \quad-a \in(1 ; 25]\right.\)
В) \(\left\{\begin{array}{l}a \leq 0 \\ a>25 \\ a>1\end{array}\right.\) - нет решений