Исходное уравнение равносильно \(x^4-4 x^2+a^2=\left(x^2+2 x-a\right)^2\) при условии \(x^2+2 x-a \geq 0\).

Решим уравнение \(x^4-4 x^2+a^2=\left(x^2+2 x-a\right)^2\) :

\(x^4-4 x^2+a^2=\)

\(x^4+4 x^3+(4-2 a) x^2-4 a x+a^2 ;\)
\(2 x^3+(4-a) x^2-2 a x=0 ; \)
\(x(x+2)(2 x-a)=0,\)

откуда \(x=0, x=-2\) или \(x=\dfrac{a}{2}\).

Исходное уравнение имеет три корня, когда числа \(-2,0\) и \(\dfrac{a}{2}\) различны и для каждого из них выполнено условие \(x^2+2 x-a \geq 0\).
    
Рассмотрим условия совпадения корней. 

При \(a=0\) и \(a=-4\) уравнение имеет не больше двух различных корней. При остальных значениях \(a\) числа \(0,-2, \dfrac{a}{2}\) различны.

При \(x=0\) получаем: \(x^2+2 x-a=-a\).
Это выражение неотрицательно при \(a \leq 0\).

При \(x=-2\) получаем: \(x^2+2 x-a=-a\).
Это выражение неотрицательно при \(a \leq 0\).

При \(x=\dfrac{a}{2}\) получаем: \(x^2+2 x-a=\dfrac{a^2}{4} \geq 0\), неравенство верно при всех значениях \(a\).

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно три различных корня при
\(a<-4 ;-4<a<0 \text {. }\)
 

Заметим, что при \(y^2<a-1\) правая часть первого уравнения системы не определена, а при \(y^2 \geq a-1\) первое уравнение системы принимает вид:

\(x^2+y^2-a=y^2+1-a ;\) 

\(x^2=1,\)
откуда \(x=1\) или \(x=-1\).
При \(x=1\) второе уравнение системы принимает вид:

\(1+y^2=8+6 y ;\)

\(y^2-6 y-7=0,\)

откуда \(y=-1\) или \(y=7\).

При \(x=-1\) второе уравнение системы принимает вид:

\(1+y^2=-8+6 y ;\)

\(y^2-6 y+9=0,\)

откуда \(y=3\).

Таким образом, решениями исходной системы являются пары чисел \((1 ;-1)\), \((1 ; 7),(-1 ; 3)\), для которых выполнено условие \(y^2 \geq a-1\).

Для пары \((1 ;-1)\) условие \(y^2 \geq a-1\) принимает вид \(a \leq 2\).

Для пары \((1 ; 7)\) условие \(y^2 \geq a-1\) принимает вид \(a \leq 50\).

Для пары \((-1 ; 3)\) условие \(y^2 \geq a-1\) принимает вид \(a \leq 10\).

Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно два различных решения при \(2<a \leq 10\).

Пусть \(t=x^2\), тогда исходное уравнение имеет хотя бы два различных корня тогда и только тогда, когда уравнение \(|a-2| \cdot t^2-2 a t+|a-12|=0\) имеет хотя бы один положительный корень.

При \(a=2\) уравнение принимает вид \(-4 t+10=0\) и имеет единственный корень \(t=\dfrac{5}{2}\).

При \(\quad a \neq 2\) дискриминант \(D\) квадратного уравнения \(|a-2| \cdot t^2-2 a t+|a-12|=0\) равен \(4 a^2-4|a-2| \cdot|a-12|\).

При \(2<a \leq 12\) получаем:

\(D=4 a^2+4(a-2)(a-12)=8 a^2-56 a+96\)

\(=8(a-3)(a-4),\)

то есть уравнение имеет хотя бы один корень при \(2<a \leq 3\) и \(4 \leq a \leq 12\).

При \(a<2\) и \(a>12\) получаем:

\(D=4 a^2-4(a-2)(a-12)=56 a-96=\)

\(8(7 a-12),\)

то есть уравнение имеет хотя бы один корень при \(\dfrac{12}{7} \leq a<2\) и \(a>12\).

Таким образом, квадратное уравнение \(|a-2| \cdot t^2-2 a t+|a-12|=0\) имеет корни при \(\dfrac{12}{7} \leq a<2,2<a \leq 3\) и \(a \geq 4\).

При \(\dfrac{12}{7} \leq a<2,2<a \leq 3\) и \(a \geq 4\) выражение \(|a-2| \cdot t^2-2 a t+|a-12|\) достигает наименьшего значения при \(t=\dfrac{a}{|a-2|}>0\). Следовательно, если уравнение \(|a-2| \cdot t^2-2 a t+|a-12|=0\) имеет хотя бы один корень, то хотя бы один из корней положительный.

Таким образом, исходное уравнение имеет хотя бы два различных корня при \(\dfrac{12}{7} \leq a \leq 3\) и \(a \geq 4\).

Исходное уравнение равносильно уравнению:

\(|x+a| \cdot|x-a|=|x+a| \cdot \sqrt{x+a^2-2 a} ;\)

\(|x+a| \cdot\left(|x-a|-\sqrt{x+a^2-2 a}\right)=0 .\)

Рассмотрим два случая.

Первый случай: \(|x+a|=0\) при условии \(x+a^2-2 a \geq 0\). Получаем: \(x=-a\).

Условие принимает вид \(a^2-3 a \geq 0\), откуда \(a \leq 0 ; a \geq 3\).

Второй случай: \(|x-a|-\sqrt{x+a^2-2 a}=0\). Получаем: \(|x-a|=\sqrt{x+a^2-2 a} ;\)

\(x^2-2 a x+a^2=x+a^2-2 a ;\)

\(x^2-(2 a+1) x+2 a=0 .\)

откуда \(x=1 ; x=2 a\).

Корни \(x=-a\) и \(x=1\) совпадают при \(a=-1\).

Корни \(x=-a\) и \(x=2 a\) совпадают при \(a=0\).

Корни \(x=1\) и \(x=2 a\) совпадают при \(a=\dfrac{1}{2}\).

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при \(a=-1 ; 0 \leq a<\dfrac{1}{2}\) и \(\dfrac{1}{2}<a<3\).

Исходное уравнение равносильно уравнению:

\(|x+a| \cdot|x-a|=|x+a| \cdot \sqrt{x+5} ;\)

\(|x+a| \cdot(|x-a|-\sqrt{x+5})=0 .\)

Рассмотрим два случая.

Первый случай: \(|x+a|=0\) при условии \(x+5 \geq 0\). Получаем: \(x=-a\). Условие принимает вид \(-a+5 \geq 0\), откуда \(a \leq 5\).

Второй случай: \(|x-a|-\sqrt{x+5}=0\). Получаем: \(|x-a|=\sqrt{x+5} ;\)

\(x^2-2 a x+a^2=x+5 ;\)

\(x^2-(2 a+1) x+a^2-5=0 .\)

Дискриминант полученного квадратного уравнения равен \((2 a+1)^2-4 a^2+20=4 a+21\). Значит, уравнение \(x^2-(2 a+1) x+a^2-5=0\) имеет два корня при \(a>-\dfrac{21}{4}\), имеет один корень при \(a=-\dfrac{21}{4}\) и не имеет корней при \(a<-\dfrac{21}{4}\).

Число \(-а\) является корнем квадратного уравнения \(x^2-(2 a+1) x+a^2-5=0\) при \(a^2+(2 a+1) a+a^2-5=0\), откуда
\begin{equation*}
4 a^2+a-5=0 ;(4 a+5)(a-1)=0 .
\end{equation*}

то есть при \(a=-\dfrac{5}{4}\) и при \(a=1\).

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при \(a=-\dfrac{21}{4} ; a=-\dfrac{5}{4} ; a=1\) и \(a>5\).

При \(x<-1\) уравнение принимает вид \(-x+3-2 a=0\), откуда \(x=3-2 a\). Корень \(x=3-2 a\) удовлетворяет неравенству \(x<-1\) при \(3-2 a<-1\), откуда \(a>2\).

При \(-1 \leq x \leq 1\) уравнение принимает вид \((2 a-1) x+3=0\). 

При \(a=\dfrac{1}{2}\) это уравнение не имеет корней, а при \(a \neq \dfrac{1}{2}\) имеет единственный корень \(x=\dfrac{3}{1-2 a}\). Корень \(x=\dfrac{3}{1-2 a}\) принадлежит отрезку \([-1 ; 1]\) при \(-1 \leq \dfrac{3}{1-2 a} \leq 1\), откуда получаем:

\begin{cases} 
{ \dfrac { 3 } { 1 - 2 a } \geq - 1 } \\
{ \dfrac { 3 } { 1 - 2 a } \leq 1 ; }
\end{cases}  \begin{cases} 
{ \dfrac { 4 - 2 a } { 1 - 2 a } \geq 0 , } \\
{ \dfrac { 2 + 2 a } { 1 - 2 a } \leq 0 ; }
\end{cases} \begin{cases}
\dfrac{a-2}{2 a-1} \geq 0, \\
\dfrac{a+1}{2 a-1} \geq 0 .
\end{cases}

Следовательно, уравнение \((2 a-1) x+3=0\) имеет корень на отрезке \([-1 ; 1]\) при \(a \leq-1\) и \(a \geq 2\).

При \(x>1\) уравнение принимает вид \(x+2 a+1=0\), откуда \(x=-2 a-1\).
Корень \(x=-2 a-1\) удовлетворлет неравенству \(x>1\) при \(-2 a-1>1\), откуда \(a<-1\).

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных кория при \(a<-1\) и \(a>2\).