Левая часть исходного уравнения неотрицательна при любом значении \(x\), поэтому при \(a<0\) корней нет.
Пусть \(a \geq 0\), тогда исходное уравнение принимает вид:
\begin{equation*}
x+2 \sqrt{x} \cdot \sqrt{2 a-x}+2 a-x=a^2 ;\left\{\begin{array}{l}
2 \sqrt{(2 a-x) x}=a^2-2 a, \\
0 \leq x \leq 2 a .
\end{array}\right.
\end{equation*}

Левая часть полученного уравнения неотрицательна при любом значении \(x\), поэтому при \(0<a<2\) корней нет.
При \(a=0\) уравнение \(2 \sqrt{-x^2}=0\) имеет единственный корень \(x=0\).
При \(a \geq 2\) получаем:

Дискриминант квадратного уравнения равен
\begin{equation*}
64 a^2-16\left(a^4-4 a^3+4 a^2\right)=64 a^3-16 a^4,
\end{equation*}

значит, это уравнение имеет два корня при \(0<a<4\). В этом случае корни квадратного уравнения \(4 x^2-8 a x+\left(a^4-4 a^3+4 a^2\right)=0\) равны
\begin{equation*}
x_1=a\left(1-\frac{\sqrt{4 a-a^2}}{2}\right), x_2=a\left(1+\frac{\sqrt{4 a-a^2}}{2}\right)
\end{equation*}

и всегда принадлежат отрезку \([0 ; 2 a]\), поскольку
\begin{equation*}
a^2-4 a+4 \geq 0 ; \frac{4 a-a^2}{4} \leq 1 ; \frac{\sqrt{4 a-a^2}}{2} \leq 1 .
\end{equation*}

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при
\begin{equation*}
2 \leq a<4 \text {. }
\end{equation*}

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим три случая.
1) Если \(x>3\), то получаем уравнение
\begin{equation*}
\begin{gathered}
(x-3)(y+3 x-9)=(x-3)\left(x^2-6 x+9\right) \\
y=x^2-9 x+18
\end{gathered}
\end{equation*}

Полученное уравнение задаёт параболу
\begin{equation*}
y=x^2-9 x+18
\end{equation*}
2) Если \(x=3\), то координаты любой точки прямой \(x=3\) удовлетворяют уравнению.
3) Если \(x<3\), то получаем уравнение

\begin{equation*}
(x-3)(y+3 x-9)=(3-x)\left(x^2-6 x+9\right) ; y=-x^2+3 x \text {. }
\end{equation*}

Полученное уравнение задаёт параболу \(y=-x^2+3 x\).
Таким образом, в первом случае мы получаем дугу \(\omega_1\) параболы \(y=x^2-9 x+18\) с концом в точке \(A(3 ; 0)\), во втором - прямую \(l\), задаваемую уравнением \(x=3\), в третьем - дугу \(\omega_2\) параболы \(y=-x^2+3 x\) с концом в точке \(A\) (см. рисунок).

Рассмотрим второе уравнение системы. При каждом значении \(a\) оно задаёт прямую \(m\), параллельную прямой \(y=x\) или совпадающую с ней.
Таким образом, прямая \(m\) пересекает прямую \(l\) при любом значении \(a\), имеет одну общую точку с дугой \(\omega_1\) при \(a=-7\) и \(a>-3\), имеет две общие точки с дугой \(\omega_1\), при \(-7<a \leq-3\), имеет одну общую точку с дугой \(\omega_2\) при \(a<-3\) и \(a=1\), имеет две общие точки с дугой \(\omega_2\) при \(-3 \leq \ a<1\).

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой \(l\) и дуг \(\omega_1\) и \(\omega_2\) с прямой \(m\). Таким образом, исходная система имеет ровно четыре решения при \(-7<a<-3 ;-3<a<1\).

Запишем первое уравнение в виде
\begin{equation*}
(y-1)(x y-6) \sqrt{y+2}=0 \text {. }
\end{equation*}

При \(y<-2\) левая часть уравнения не имеет смысла.
При \(y \geq-2\) уравнение задаёт прямые \(y=-2\), \(y=1\) и гиперболу \(y=\frac{6}{x}\).

При каждом значении \(a\) уравнение \(y=a x\) задаёт прямую \(m\) с угловым коэффициентом \(a\), проходящую через начало координат.
Прямые \(m\) проходят через точки пересечения прямых \(y=-2, y=1\) и гиперболы \(y=\frac{6}{x}\) при \(a=\frac{1}{6}\) и \(a=\frac{2}{3}\).
При \(y \geq-2\) прямые \(m\) пересекают прямую \(y=-2\) при любом ненулевом значении \(a\), прямую \(y=1\) при любом ненулевом значении \(a\), пересекают правую ветвь гиперболы \(y=\frac{6}{x}\) при \(a>0\), пересекают левую ветвь гиперболы \(y=\frac{6}{x}\) при \(0<a \leq \frac{2}{3}\).
Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямых \(y=-2, y=1\) и гиперболы \(y=\frac{6}{x}\) с прямой \(m\) при условии \(y \geq-2\).
Таким образом, исходная система имеет ровно три решения при
\begin{equation*}
a=\frac{1}{6} ; a \geq \frac{2}{3} .
\end{equation*}