19. Задачи олимпиадного уровня
Чтобы получить дополнительный функционал нужно войти.
(ЕГЭ,2017) Каждый из 28 студентов или писал одну из двух контрольных работ, или писал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 15. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов оказалось равно
a) Приведите пример, когда
б) Могло ли значение
в) Какое наименьшее значение могло принимать
Решение
а) например, если 20 студентов писали обе контрольные работы и получили по 18 баллов, по 4 студента писали только одну из двух контрольных работ и получили по 0 баллов
Ответ
(ЕГЭ,2017) С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 1923 получается число 110911253 ).
a) Приведите пример числа, из которого получается 2108124117.
б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 37494128 ?
в) Какое наибольшее число, кратное 11 , может получиться из трёхзначного числа?
Ответ
(ЕГЭ,2017) В каждой клетке квадратной таблицы
a) Может ли сумма у Пети получиться в два раза больше, чем сумма у Васи?
б) Может ли сумма у Пети получиться в шесть раз больше, чем сумма у Васи?
в) В какое наибольшее число раз сумма у Пети может быть больше, чем сумма у Васи?
Ответ
(ЕГЭ,2016) Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
а) Является ли множество
б) Является ли множество
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества
Решение
a) Разобьём множество
Множество
б) Заметим, что
в) Заметим, что четырёхэлементное множество является хорошим в двух случаях: либо одно число является суммой трёх других, либо множество содержит две пары чисел с равными суммами.
Подмножества множества
Рассмотрим второй случай. Заметим, что числа 2 и 4 либо одновременно входят в хорошее четырёхэлементное подмножество, либо одновременно не входят в него, поскольку сумма всех чисел хорошего подмножества чётна. Если 2 и 4 входят в подмножество, то либо сумма двух других чисел равна 6 - это единственное подмножество
Если 2 и 4 не входят в подмножество, то хорошее подмножество лежит в множестве
Всего получилось 8 хороших подмножеств.
Ответ
(ЕГЭ,2016) На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа
a) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из двух чисел, написанных на доске, окажется числом 13.
б) Может ли после 200 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 400 ?
в) Сделали 513 ходов, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?
Решение
a) Число 13 могло получиться в результате следующей последовательности ходов:
б) После первого хода на доске будет записано либо 3 и 5 , либо 5 и 5 . Заметим, что после каждого последующего хода каждое из двух чисел увеличивается хотя бы на 2. Значит, после 200 ходов меньшее из двух чисел будет не меньше
в) Пусть в какой-то момент на доске была написана пара чисел
Изначально разность большего и меньшего чисел была равна 1 , а после каждого хода её чётность меняется. Значит, после 513 ходов разность должна быть чётной. Поэтому наименьшая возможная разность - это 2.
Например, если сначала сделать 257 ходов, увеличивающих разность, а затем 256 ходов, уменьшающих разность, то получится два числа, разность которых равна 2 .
Ответ
(ЕГЭ,2016) На доске написаны числа
a) Приведите пример последовательных 5 ходов.
б) Можно ли сделать 10 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?
Решение
a) Пример последовательных 5 ходов (стёрты тройки чисел):
б) Пусть сделано 10 ходов, то есть стёрли все числа. С одной стороны, сумма чисел
в) Пусть можно сделать 7 ходов. Тогда сумма стёртых за 7 ходов чисел не меньше
С другой стороны, эта сумма не больше суммы семи различных натуральных чисел, меньших 35 , то есть не больше
Значит, невозможно сделать 7 ходов.
Пример последовательных 6 ходов (стёрты тройки чисел):