а) например, если 20 студентов писали обе контрольные работы и получили по 18 баллов, по 4 студента писали только одну из двух контрольных работ и получили по 0 баллов

a) Разобьём множество \(\{200 ; 201 ; 202 ; \ldots ; 299\}\) на 50 пар, сумма чисел в каждой из которых равна 499: \(\{200 ; 299\},\{201 ; 298\}, \ldots\)
Множество \(\{200 ; 201 ; 202 ; \ldots ; 299\}\) можно разбить на два подмножества, в каждом из которых по 25 таких пар. Значит, сумма чисел в этих двух подмножествах одинакова и множество \(\{200 ; 201 ; 202 ; \ldots ; 299\}\) является хорошим.

б) Заметим, что \(2^{100}>2^{100}-1=2^{99}+2^{98}+\ldots+4+2+1\). Поэтому сумма чисел в подмножестве множества \(\left\{2 ; 4 ; 8 ; \ldots ; 2^{100}\right\}\), содержащем \(2^{100}\), всегда больше суммы остальных чисел, следовательно, множество \(\left\{2 ; 4 ; 8 ; \ldots ; 2^{100}\right\}\) не является хорошим.

в) Заметим, что четырёхэлементное множество является хорошим в двух случаях: либо одно число является суммой трёх других, либо множество содержит две пары чисел с равными суммами.

Подмножества множества \(\{1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11\}\), удовлетворяющие первому случаю, - это \(\{1 ; 2 ; 4 ; 7\},\{2 ; 4 ; 5 ; 11\}\).

Рассмотрим второй случай. Заметим, что числа 2 и 4 либо одновременно входят в хорошее четырёхэлементное подмножество, либо одновременно не входят в него, поскольку сумма всех чисел хорошего подмножества чётна. Если 2 и 4 входят в подмножество, то либо сумма двух других чисел равна 6 - это единственное подмножество \(\{1 ; 2 ; 4 ; 5\}\), либо разность двух других чисел равна 2. Получаем хорошие подмножества:
\begin{equation*}
\{1 ; 2 ; 4 ; 5\},\{2 ; 4 ; 5 ; 7\},\{2 ; 4 ; 7 ; 9\},\{2 ; 4 ; 9 ; 11\} .
\end{equation*}

Если 2 и 4 не входят в подмножество, то хорошее подмножество лежит в множестве \(\{1 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11\}\). Получаем хорошие подмножества:
\begin{equation*}
\{1 ; 5 ; 7 ; 11\},\{5 ; 7 ; 9 ; 11\} .
\end{equation*}

Всего получилось 8 хороших подмножеств.

a) Число 13 могло получиться в результате следующей последовательности ходов:
\begin{equation*}
(2 ; 3) ;(3 ; 5) ;(5 ; 8) ;(9 ; 13)
\end{equation*}

б) После первого хода на доске будет записано либо 3 и 5 , либо 5 и 5 . Заметим, что после каждого последующего хода каждое из двух чисел увеличивается хотя бы на 2. Значит, после 200 ходов меньшее из двух чисел будет не меньше \(3+199 \cdot 2=401\). Значит, после 200 ходов на доске не может оказаться число 400 .

в) Пусть в какой-то момент на доске была написана пара чисел \(a\) и \(b\), причём \(b>a\). Тогда после хода на доске будет написано либо \(2 a-1\) и \(a+b\), либо \(a+b\) и \(2 b-1\). В первом из этих случаев разность чисел равна \(b-a+1\), а во втором \(b-a-1\). То есть после каждого хода разность большего и меньшего чисел изменяется на 1 , причём для любых двух различных чисел можно сделать ход так, чтобы разность увеличилась, и так, чтобы разность уменьшилась.

Изначально разность большего и меньшего чисел была равна 1 , а после каждого хода её чётность меняется. Значит, после 513 ходов разность должна быть чётной. Поэтому наименьшая возможная разность - это 2.
Например, если сначала сделать 257 ходов, увеличивающих разность, а затем 256 ходов, уменьшающих разность, то получится два числа, разность которых равна 2 .

a) Пример последовательных 5 ходов (стёрты тройки чисел):
\begin{equation*}
\begin{gathered}
(1 ; 6 ; 11) ;(2 ; 7 ; 12) ;(3 ; 8 ; 13) ; \\
(4 ; 9 ; 14) ;(5 ; 10 ; 15) .
\end{gathered}
\end{equation*}

б) Пусть сделано 10 ходов, то есть стёрли все числа. С одной стороны, сумма чисел \(1,2, \ldots, 30\) равна \(\frac{1+30}{2} \cdot 30=465\). С другой стороны, каждая из сумм стираемых трёх чисел меньше 35 , значит, сумма всех стёртых за 10 ходов чисел меньше 350 . Противоречие. Значит, нельзя сделать 10 ходов.

в) Пусть можно сделать 7 ходов. Тогда сумма стёртых за 7 ходов чисел не меньше
\begin{equation*}
1+2+3+\ldots+20+21=231 \text {. }
\end{equation*}

С другой стороны, эта сумма не больше суммы семи различных натуральных чисел, меньших 35 , то есть не больше
\begin{equation*}
34+33+32+31+30+29+28=217 .
\end{equation*}

Значит, невозможно сделать 7 ходов.
Пример последовательных 6 ходов (стёрты тройки чисел):
\begin{equation*}
\begin{gathered}
(21 ; 12 ; 1) ;(20 ; 11 ; 2) ;(19 ; 10 ; 3) \\
(18 ; 9 ; 4) ;(17 ; 8 ; 5) ;(16 ; 7 ; 6)
\end{gathered}
\end{equation*}