19. Задачи олимпиадного уровня
Чтобы получить дополнительный функционал нужно войти.
(ЕГЭ,2017) На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.
a) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
(ЕГЭ,2017) На доске написано несколько (более одного) различных натуральных чисел, причём любые два из них отличаются не более чем в три раза.
a) Может ли на доске быть 6 чисел, сумма которых равна 71?
б) Может ли на доске быть 9 чисел, сумма которых равна 71 ?
в) Сколько может быть чисел на доске, если их произведение равно 7000 ?
(ЕГЭ,2017) На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо чётное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 9. Сумма написанных чисел равна 877.
a) Может ли на доске быть ровно 27 чётных чисел?
б) Могут ли ровно 15 чисел на доске оканчиваться на 9 ?
в) Какое наибольшее количество чисел, оканчивающихся на 9 , может быть на доске?
(ЕГЭ,2017) На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 5 , или на цифру 9. Сумма написанных чисел равна 3008.
a) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 5 и на 9?
б) Могут ли ровно три числа на доске оканчиваться на 5 ?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 5, может быть на доске?
(ЕГЭ,2017) На доске написано 100 различных натуральных чисел, сумма которых равна 5130.
a) Может ли оказаться, что на доске написано число 240 ?
б) Может ли оказаться, что на доске нет числа 16 ?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 16, может быть на доске?
(ЕГЭ,2017) Каждый из 28 студентов или писал одну из двух контрольных работ, или писал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 15. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов оказалось равно \(S\).
a) Приведите пример, когда \(S<15\).
б) Могло ли оказаться, что ровно 26 студентов писали обе контрольные работы, если \(S=13\) ?
в) Какое наибольшее количество студентов могло писать обе контрольные работы, если \(S=13\) ?