a) Заметим, что в первый день на доску было записано не более 7 чисел. Значит, если \(n>6\), то в седьмой день на доску было записано одно число. Но это невозможно, поскольку это число должно быть больше суммы чисел, записанных в первый день, равной 7 .

б) Пусть \(n=3\), в первый день на доску записали число 1 и шесть чисел 2, во второй день - шесть чисел 3, а в третий день - пять чисел 4. Тогда сумма чисел в первый день равна 13 , во второй - 18 , а в третий - 20 . Среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, равно \(1 \frac{6}{7}<2\), а среднее арифметическое всех записанных чисел равно \(2 \frac{5}{6}>2,5\).

в) Заметим, что в шестой день на доску было записано хотя бы одно число. Предположим, что в шестой день на доску было записано не больше двух чисел. Значит, в первый день на доску было записано не менее 6 чисел, и их сумма была не меньше 6. Но это невозможно, поскольку в шестой день сумма записанных на доску чисел должна быть не меньше 11 , а сумма двух чисел, каждое из которых меньше 6, не может быть больше 10 .
Таким образом, в шестой день на доску было записано хотя бы три числа. Следовательно, в пятый день было записано не менее четырёх чисел, в четвёртый день - не менее пяти, в третий - не менее шести, во второй не менее семи, а в первый - не менее восьми. Значит, суммарно чисел было не меньше 33.

Покажем, что могло быть записано 33 числа, удовлетворяющих условию задачи. Пусть в первый день были записаны числа \(1,1,1,1,1,1,1,1\); во второй - \(1,1,1,1,1,1,3\); в третий - \(1,1,1,1,3,3\); в четвёртый - \(1,1,3,3,3\); в пятый - \(1,1,5,5\), в шестой - \(4,4,5\). Тогда суммы записанных за эти дни чисел соответственно равны \(8,9,10,11,12\) и 13 , то есть числа удовлетворяют условиям задачи.

a) Пусть в ящике \(k\) овощей массой меньше \(1000 г, k\) овощей массой больше 1000 г и ( \(65-2 k)\) овощей массой ровно 1000 г. Тогда
\begin{equation*}
982 k+1024 k+1000 \cdot(65-2 k)=65000 ; 6 k=0,
\end{equation*}

но все овощи не могут быть одной массы, значит, в ящике не могло оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г.

б) Пусть в ящике \(k\) овощей массой меньше 1000 г, m овощей массой ровно 1000 г и \(n\) овощей массой больше 1000 г. Тогда
\begin{equation*}
982 k+1000 m+1024 n=1000 \cdot(k+m+n) ; 4 n=3 k .
\end{equation*}

Поскольку числа 3 и 4 взаимно просты,
\begin{equation*}
k=4 s, n=3 t ; 12 s=12 t ; s=t \text {. }
\end{equation*}

Таким образом, \(k+n=4 s+3 s=7 s\). Следовательно, количество овощей с массой, отличной от 1000 г, делится на 7 .

Если \(m=13\), то \(k+n=52\), но 52 не кратно 7 , значит, не могло оказаться ровно 13 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г.

в) Пусть масса самого лёгкого одоща равна \(x\) г, тогда
\begin{equation*}
982 k \leq x+999 \cdot(k-1) ; x \geq 999-17 k .
\end{equation*}

В пункте б было показано, что \(k=4 s\). Кроме того, \(k+n=7 s \leq 65\), откуда \(s \leq 9\), значит,
\begin{equation*}
k \leq 36 ; x \geq 999-17 \cdot 36 ; x \geq 387 .
\end{equation*}

Покажем, что масса самого лёгкого овоща может быть 387 г. Если в ящике 1 овощ массой 387 г, 35 овощей массой 999 г, 2 овоща массой 1000 г и 27 овощей массой 1024 г, то условия задачи выполнены. 

a) Пусть \(a\) и \(b\) - натуральные корни уравнения \(x^2+p x+q=0\), причём \(a<b\). Тогда
\begin{equation*}
p=-a-b, q=a b .
\end{equation*}

Поскольку \(q=55\), либо \(a=1, b=55\), тогда \(p=-56\), либо \(a=5, b=11\), тогда \(p=-16\).

б) Если \(p+q=30\), получаем:
\begin{equation*}
a b-a-b=30 ;(a-1)(b-1)-1=30 ;(a-1)(b-1)=31 \text {. }
\end{equation*}

Значит, \(a=2, b=32\), тогда \(q=64\).

в) Заметим, что \(2108=2 \cdot 2 \cdot 31 \cdot 17\), а числа \(p-q\) и \(p+q\) имеют одинаковую чётность. Следовательно, поскольку \(q^2-p^2=(q-p)(q+p)\) и \(p<0\), получаем два случая.
В первом случае:
\begin{equation*}
\left\{\begin{array} { l } 
{ q - p = 2 \cdot 3 1 \cdot 1 7  } \\
{ q + p = 2 }
\end{array} \left\{\begin{array}{l}
q=528 \\
p=-526
\end{array}\right.\right.
\end{equation*}

Значит, исходное уравнение принимает вид \(x^2-526 x+528=0\). Заметим, что \(1^2-526 \cdot 1+528>0\), а \(2^2-526 \cdot 2+528<0\). Следовательно, уравнение \(x^2-526 x+528=0\) не имеет двух натуральных корней. Этот случай не удовлетворяет условию задачи.
Во втором случае:
\begin{equation*}
\left\{\begin{array} { l } 
{ q - p = 2 \cdot 3 1  } \\
{ q + p = 2 \cdot 1 7  }
\end{array} \left\{\begin{array}{l}
q=48 \\
p=-14
\end{array}\right.\right.
\end{equation*}

Значит, исходное уравнение принимает вид \(x^2-14 x+48=0\) и имеет корни \(a=6\) и \(b=8\).