a) Пусть у детей было \(16,16,4,8\) конфет соответственно (у двух мальчиков было по 16 конфет), а стало \(14,16,7,7\). Тогда условие задачи выполнено.

б) Заметим, что если два мальчика отдали конфеты девочкам, то у этих девочек не могло оказаться одинаковое число конфет, а если два мальчика отдали конфеты мальчикам, то у этих мальчиков не могло оказаться разное число конфет. Значит, не может быть больше двух мальчиков, то есть мальчиков ровно два и они стоят рядом. Таким образом, мальчиков не может быть больше, чем девочек, поскольку девочек не меньше двух.

в) Пусть у детей было \(112,112,4,40,28,32\) конфет соответственно (у двух мальчиков было по 112 конфет), а стало \(92,112,31,31,31,31\). Тогда условие задачи выполнено, а суммарно у детей 328 конфет.

а) да; б) нет; в) да

а) да; б) нет; в)\(150, 141, 132, 123, 114, 105, 96, 87, 78, 69, 60, 51, 42, 33, 24, 15\)

a) Пусть в сборнике было 75 задач, в первый день Вася решил 10 задач и решал задачи 6 дней, а Петя в первый день решил 11 задач. Тогда в последующие дни Вася решил \(11,12,13,14\) и \(15\) задач соответственно, а Петя - \(13,15,17\) и \(19\) задач. Значит, условия выполнены, поскольку
\begin{equation*}
10+11+12+13+14+15=75=11+13+15+17+19 \text {. }
\end{equation*}

б) Пусть Петя в первый день решил \(b\) задач. Тогда за четыре дня он решил \(4 b+12\) задач. Вася в первый день решил \(b+1\) задачу, а за четыре дня \(4 b+10\) задач, то есть на 2 меньше, чем Петя. Если Вася продолжит решать задачи, то на пятый день он решит \(b+5\) задач. Таким образом, число решённых им задач будет не меньше \(5 b+15\). Значит, условие не может выполняться, поскольку \(5 b+15>4 b+12\).

в) Пусть Вася в первый день решил \(a\) задач и решал задачи \(n\) дней, а Петя в первый день решил \(b\) задач и решал задачи \(m\) дней. Тогда \(a=b-1\) или \(a=b+1\).
Если \(a=7, n=8, b=6, m=7\), то условия выполнены и в сборнике было \(84\) задачи.
Покажем, что в сборнике не могло быть меньше \(84\) задач. Заметим, что если \(m \geq 10\), то в сборнике было не меньше \(1+3+5+\ldots+17+19=100\) задач. Значит, чтобы показать, что количество задач не меньше \(84\) , нужно проверить случаи \(m=7, m=8\) и \(m=9\).

Заметим, что для \(m=9\) число задач может быть меньше \(84\) , только если \(b=1\), а число задач равно \(81\). В этом случае \(a=2\) и Вася решил \(2 n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+3)}{2}\) (задач). Но равенство \(\frac{n(n+3)}{2}=81\) не выполняется ни для какого целого значения \(n\). Таким образом, случай \(m=9\) невозможен. 

Предположим, что \(a=b+1\). Тогда за семь дней Вася решил \(7 b+28\) задач, а Петя \(7 b+42\) задачи, то есть на \(14\) задач больше.

Если \(m=7\), то Петя больше задач не решал, значит, Васе нужно решить \(14\) задач за последние \(n-7\) дней. В восьмой и последующие дни Вася будет решать \(b+8, b+9, \ldots, b+n\) задач соответственно. При \(n \geq 9\) за последние \(n-7\) дней Вася решит не менее \((b+8)+(b+9)=2 b+17\) (задач), но \(2 b+17>14\), значит, случай, когда \(m=7, n \geq 9\), невозможен. При \(n=8\) Вася за восьмой день решит \(b+8=14\) (задач), откуда \(b=6\), тогда в сборнике было \(84\) задачи.

Если \(m=8\), то Петя за восьмой день решит \(b+14\) задач, значит, Васе нужно решить \(14+(b+14)=b+28\) (задач) за последние \(n-7\) дней. При \(n=8\) за восьмой день Вася решит \(b+8\) задач, но \(b+8<b+28\), значит, случай, когда \(m=n=8\), невозможен. При \(n=9\) Вася за последние два дня решит \(2 b+17=b+28\) (задач), откуда \(b=11\), тогда в сборнике было \(144\) задачи. При \(n \geq 10\) Вася за последние \(n-7\) дней решит не менее \((b+8)+(b+9)+(b+10)=3 b+27\) (задач), но \(3 b+27>b+28\), значит, случай, когда \(m=8, n \geq 10\), невозможен.

Предположим, что \(a=b-1\). Тогда за семь дней Вася решил \(7 b+14\) задач, а Петя \(7 b+42\) задачи, то есть на \(28\) задач больше.

Если \(m=7\), то Петя больше задач не решал, значит, Васе нужно решить \(28\) задач за последние \(n-7\) дней. В восьмой и последующие дни Вася будет решать \(b+6, b+7, \ldots, b+n-2\) задачи соответственно. При \(n=8\) Вася за восьмой день решит \(b+6=28\) (задач), откуда \(b=22\), тогда в сборнике было \(196\) задач. При \(n=9\) за последние два дня Вася решит \(2 b+13=28\) (задач), откуда \(2 b=15\), что невозможно. При \(n=10\) за последние три дня Вася решит \(3 b+21=28\) (задач), откуда \(3 b=7\), что невозможно. При \(n \geq 11\) за последние \(n-7\) дней Вася решит не менее \((b+6)+(b+7)+(b+8)+(b+9)=4 b+30\) (задач), но \(4 b+30>28\), значит, случай, когда \(m=7, n \geq 11\), невозможен.

Если \(m=8\), то Петя за восьмой день решит \(b+14\) задач, значит, Васе нужно решить \(28+(b+14)=b+42\) (задач) за последние \(n-7\) дней. При \(n=8\) за восьмой день Вася решит \(b+6\) задач, но \(b+6<b+42\), значит, случай, когда \(m=n=8\), невозможен. При \(n=9\) Вася за последние два дня решит \(2 b+13=b+42\) (задач), откуда \(b=29\), тогда в сборнике было \(288\) задач. При \(n=10\) Вася за последние три дня решит \(3 b+21=b+42\) (задач), откуда \(2 b=21\), что невозможно. При \(n=11\) Вася за последние четыре дня решит \(4 b+30=b+42\) (задач), откуда \(b=4\), тогда в сборнике было \(88\) задач. При \(n \geq 12\) Вася за последние \(n-7\) дней решит не менее \((b+6)+(b+7)+(b+8)+(b+9)+(b+10)=5 b+40\) (задач), но \(5 b+40>b+42\), значит, случай, когда \(m=8, n \geq 12\), невозможен. 

а) да; б) нет; в) 84

a) Длина одного из рёбер параллелепипеда объёмом 150 делится на 3. Значит, если расположить все контейнеры так, чтобы их длинное ребро было параллельно этому ребру параллелепипеда, то склад будет полностью заполнен.

б) Рассмотрим склад размером \(2 \times 2 \times 100\). Контейнеры в нём могут располагаться только так, что их длинное ребро параллельно длинному ребру склада. Таким образом, любой из контейнеров целиком располагается в одном из четырёх параллелепипедов размером \(1 \times 1 \times 100\), на которые можно разбить параллелепипед размером \(2 \times 2 \times 100\). Но в каждый из этих четырёх параллелепипедов можно поместить не более 33 контейнеров. Значит, на складе невозможно разместить более 132 контейнеров.

в) Пусть склад имеет размеры \(a \times b \times c\). Покажем, что его можно заполнить контейнерами так, что останется свободное пространство объёмом \(a_0 b_0 c_0\), где \(a_0, b_0, c_0\) остатки от деления на 3 чисел \(a, b\) и \(c\) соответственно. Параллелепипед размером \(a \times b \times c\) можно разбить на параллелепипеды размером \(\left(a-a_0\right) \times b \times c, a_0 \times\left(b-b_0\right) \times c, a_0 \times b_0 \times\left(c-c_0\right)\) и \(a_0 \times b_0 \times c_0\). Каждый из этих параллелепипедов, кроме последнего, можно полностью заполнить контейнерами, поскольку длина одного из рёбер каждого из этих параллелепипедов делится на 3. Таким образом, останется незаполненным только параллелепипед размером \(a_0 \times b_0 \times c_0\), объём которого равен \(a_0 b_0 c_0\). Заметим, что для любых чисел \(a, b\) и \(с\) значение выражения \(a_0 b_0 c_0\) не превосходит 8. Значит, склад объёмом не менее 200 всегда можно заполнить контейнерами так, чтобы объём свободного пространства был не более 8. Таким образом, можно гарантировать, что не менее \(96 \%\) склада будет заполнено.
Аналогично пункту б, в склад размером \(2 \times 2 \times 50\) нельзя поместить больше 64 контейнеров. То есть в этом случае можно заполнить не более \(96 \%\) склада. 

а) нет; б) да; в) 96

a) Пусть в ящике \(k\) фруктов массой меньше 100 г, \(k\) фруктов массой больше 100 г и \((95-2 k)\) фруктов массой ровно 100 г. Тогда
\begin{equation*}
73 k+115 k+100 \cdot(95-2 k)=9500 ; 12 k=0,
\end{equation*}

но все фрукты не могут быть одной массы, значит, в ящике не могло оказаться поровну фруктов массой меньше 100 г и фруктов массой больше 100 г .

б) Пусть в ящике \(k\) фруктов массой меньше 100 г, m фруктов массой ровно 100 г и \(n\) фруктов массой больше 100 г. Тогда
\begin{equation*}
73 k+100 m+115 n=100 \cdot(k+m+n) ; 5 n=9 k \text {. }
\end{equation*}

Поскольку числа 5 и 9 взаимно просты,
\begin{equation*}
k=5 s, n=9 t ; 45 s=45 t ; s=t .
\end{equation*}

Таким образом, \(k+n=5 s+9 s=14 s\). Следовательно, количество фруктов с массой, отличной от 100 г, делится на 14 , и \(14 s \leq 95\), то есть \(s \leq 6\) и \(k+n \leq 84\). Значит,
\begin{equation*}
m=95-(k+n) \geq 95-84=11 .
\end{equation*}

Следовательно, в ящике не могло оказаться меньше 10 фруктов, масса каждого из которых равна 100 г.

в) Пусть масса самого тяжёлого фрукта равна \(x\) г, тогда
\begin{equation*}
115 n \geq x+101 \cdot(n-1) ; x \leq 14 n+101 .
\end{equation*}

В пункте б было показано, что \(n=9 s\) и \(s \leq 6\), значит,
\begin{equation*}
n \leq 54 ; x \leq 14 \cdot 54+101 ; x \leq 857 \text {. }
\end{equation*}

Покажем, что масса самого тяжёлого фрукта может быть 857 г. Если в ящике 30 фруктов массой 73 г, 11 фруктов массой 100 г, 53 фрукта массой 101 г и 1 фрукт массой 857 г, то условия задачи выполнены.

а) нет; б) нет; в) 857 г

a) Например, последовательность \(270,360,180,90,180,90, \ldots\) удовлетворяет условиям задачи и образована ровно четырьмя различными числами.

б) Заметим, что если в последовательности присутствует нечётное число, то следующее за ним должно быть на 90 больше. Таким образом, если \(a_1=89\), то все числа в последовательности нечётные и
\begin{equation*}
a_{100}=a_1+99 \cdot 90=89+99 \cdot 90=8999 .
\end{equation*}

в) Последовательность \(96,48,24,12,6,96,48,24,12,6, \ldots\) удовлетворяет условиям задачи, а самое большое число в ней равно 96 .
Покажем, что самое большое число в последовательности, удовлетворяющей условиям задачи, не может быть меньше 96. Предположим, что все числа в последовательности меньше 96. Заметим, что если прибавить 90 к числу, не меньшему 6 , то получится число, не меньшее 96. Таким образом, в последовательности после каждого числа \(a\), не меньшего 6 , следует число \(\frac{a}{2}\).

Предположим, что \(a_1\) нечётное. Тогда \(a_{1+2}=a_1+180>96\). Следовательно, при \(i \leq 98\) число \(a_i\) чётное.

Рассмотрим наименьшее \(k\), для которого \(a_k<6\). Заметим, что \(k \leq 7\), поскольку \(a_1=2^{k-1} \cdot a_k\). Разберём случаи различных значений \(a_k\). Поскольку \(k+20 \leq 27<98\), будем рассматривать только случаи, когда числа \(a_k, \ldots, a_{k+20}\) чётные.

Если \(a_k=2\), получаем \(a_{k+1}=92, a_{k+2}=46, a_{k+3}=136\). То есть в этом случае в последовательности найдётся число, большее 96.

Если \(a_k=4\), то \(a_{k+1}=2\), что было разобрано ранее, или получаем \(a_{k+1}=94\), \(a_{k+2}=184\). То есть в этом случае в последовательности найдётся число, большее 96 .
Таким образом, самое большое число в последовательности не может быть меньше 96 .

а) да; б) 8999 ; в) 96