a) Рассмотрим трёхзначное число \(198.\) Сумма его цифр равна \(18,\) а отношение числа к этой сумме равно \(11.\)

б) Заметим, что сумма цифр трёхзначного числа не превосходит \(27.\) Следовательно, если отношение такого числа к сумме его цифр равно \(5,\) то это число не превосходит \(135.\)

Для таких чисел сумма цифр не превосходит \(12,\) а значит, число не превосходит \(60,\) то есть не является трёхзначным. Таким образом, отношение не может быть равным \(5.\)

в) Обозначим вторую цифру трёхзначного числа через \(b\), а третью через \(c\). Тогда отношение числа к сумме его цифр равно

\(f(b ; c)=\dfrac{700+10 b+c}{7+b+c} .\)

Заметим, что

\(f(b ; c)=10+\dfrac{9(70-c)}{7+b+c} .\)

Следовательно, при неотрицательных значениях \(b\) и \(c\) функция \(f(b ; c)\) убывает по каждому из аргументов. Для каждого значения \(b+c\), начиная с наименьшего, будем искать цифры \(b\) и \(c\) такие, чтобы \(f(b ; c)\) принимала целые значения.

Если \(b+c=0\), то \(b=c=0\), следовательно, число делится на \(100,\) что противоречит условию.

Если \(b+c=1\), то \(f(1-c ; c)=10+\dfrac{9(70-c)}{8}\) принимает целое значение при \(c=6\), но в этом случае \(b=-5\), что невозможно.

Если \(b+c=2\), то \(f(2-c ; c)=10+\dfrac{9(70-c)}{9}\) принимает целые значения при любых \(c\), при этом наибольшее значение достигается при \(c=0\) и \(b=2\) и равно \(80.\)

Если \(b+c \geq 3\), то \(f(b ; c)=10+\dfrac{9(70-c)}{7+b+c} \leq 10+\dfrac{9(70-0)}{7+3}=\)

\(73<80\).

Таким образом, наибольшее значение искомого отношения равно \(80\) для числа \(720\) и суммы его цифр.
 

a) Пусть в день с номером \(k\) записано \(k\) чисел 3 и \(12-2 k\) чисел 1. Тогда сумма чисел в этот день равна \(12+k\). Таким образом, \(n\) может быть равным 6 .

б) Пусть \(n=4\), в первый день на доску записали число 2 и двенадцать чисел 3 , во второй день - двенадцать чисел 4 , в третий день - шесть чисел 4 и пять чисел 5, а в четвёртый день - десять чисел 5. Тогда сумма чисел в первый день равна 38 , во второй - 48, в третий - 49 , а в четвёртый - 50 . Среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, равно \(2 \frac{12}{13}<3\), а среднее арифметическое всех записанных чисел равно \(4 \frac{1}{46}>4\).

в) Заметим, что в первый день на доску было записано не более 6 чисел. 3начит, если \(n>5\), то в шестой день на доску было записано одно число. Но это невозможно, поскольку это число должно быть больше суммы чисел, записанных в первый день, равной 6. Таким образом, \(n \leq 5\).

Если \(n=5\), то в пятый день на доску было записано не более двух чисел, а их сумма не превосходит 10. Значит, суммы чисел, записанных в четвёртый, третий и второй дни, не превосходят 9,8 и 7 соответственно, а сумма всех записанных чисел в этом стучае не превосходит 40.

Ести \(n=4\), то в четвёртый день на доску было записано не более трёх чисел, а их сумма не превосходит 15. Значит, суммы чисел, записанных в третий и второй дни, не превосходят 14 и 13 соответственно, а сумма всех записанных чисел в этом стучае не превосходит 48.

Если \(n=3\), то в третий день на доску было записано не более четырёх чисел, а их сумма не превосходит 20. Значит, сумма чисел, записанных во второй день, не превосходит 19, а сумма всех записанных чисел в этом случае не превосходит 4.

Если \(n=2\), то во второй день на доску было записано не более пяти чисел, а их сумма не превосходит 25. Значит, сумма всех записанных чисел в этом случае не превосходит 31 .

Если \(n=1\), то сумма всех записанных чисел равна 6.
Таким образом, сумма всех записанных чисел не превосходит 48 .
Покажем, что сумма всех записанных чисел могла равняться 48 . Пусть \(n=4\), и в первый день были записаны числа \(1, 1, 1, 1, 1, 1\); во второй \(-2,2,3,3,3\); в третий \(-3,3,4,4\); в четвёртый \(-5,5,5\). Тогда суммы записанных в эти дни чисел соответственно равны \(6,13,14\) и \(15\) , то есть числа удовлетворяют условиям задачи, а их сумма равна 48.

а) Пусть на доске написаны числа 24, 54 и 204. Тогда их сумма равна 282.

б) Каждое из написанных чисел оканчивается на 4 , поэтому если их сумма оканчивается на 0 , то их количество должно делиться на 5 . Сумма пяти наименьших чисел, каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 4 , равна \(24+54+84+114+144=420\). Значит, получить сумму 390 невозможно.

в) Пусть на доске написано \(n\) чисел. Заметим, что любое число, которое оканчивается на 4 , представимо в виде \(5 k+4\). Значит, сумма чисел, написанных на доске, равна \(2226=5 m+4 n\). Следовательно, \(4 n\) даёт остаток 1 при делении на 5 , откуда получаем, что \(n\) даёт остаток 4 при делении на 5 .
Предположим, что \(n \geq 14\). Сумма четырнадцати наименьших чисел, каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 4 , равна
\begin{equation*}
24+54+84+\ldots+384+414=\frac{14 \cdot(24+414)}{2}=3066>2226 .
\end{equation*}

Значит, \(n<14\), следовательно, \(n \leq 9\).
Покажем, что могло быть написано девять чисел. Например, сумма девяти чисел \(24,54,84,114,144,174,204,234,1194\) равна 2226 .

a) Пусть на доске были написаны числа 1, 8 и 4 , из которых получили числа 13, 87 и 4 . При этом \(1+8+4=13,13+87+4=104=8 \cdot 13\). Значит, сумма увеличилась в 8 раз.

б) Пусть в первой группе было \(m\) чисел, а их сумма равнялась \(A\), во второй группе было \(n\) чисел, а их сумма равнялась \(B\), а сумма чисел в третьей группе равнялась \(C\). Тогда сумма чисел была равна \(A+B+C\), а стала \(10 A+3 m+10 B+7 n+C\).
Предположим, что сумма увеличилась в 17 раз. Тогда получаем:
\begin{equation*}
10 A+3 m+10 B+7 n+C=17 A+17 B+17 C ; 3 m+7 n=7 A+7 B+16 C \text {. }
\end{equation*}

Это невозможно, поскольку \(A \geq m \geq 1, B \geq n \geq 1, C \geq 1\).

в) Рассмотрим отношение \(Q\) получившейся суммы чисел и изначальной:
\begin{equation*}
Q=\frac{10 A+3 m+10 B+7 n+C}{A+B+C}=10+\frac{3 m+7 n-9 C}{A+B+C} .
\end{equation*}

Если перенести одно число из первой или третьей группы во вторую, то \(A+B+C\) не изменится, а \(3 m+7 n-9 C\) увеличится. Значит, отношение \(Q\) будет наибольшим, если в первой и третьей группах находится по одному числу. Поэтому будем считать, что \(m=1\), а общее количество чисел равно \(n+2\). Поскольку числа различные, получаем \(A+B+C \geq \frac{(n+2)(n+3)}{2}\). Кроме того, \(C \geq 1\). Значит,
\begin{equation*}
Q=10+\frac{3+7 n-9 C}{A+B+C} \leq 10+\frac{7 n-6}{A+B+C} \leq 10+\frac{2(7 n-6)}{(n+2)(n+3)} .
\end{equation*}

Найдём, при каком значении \(n\) выражение \(f(n)=\frac{7 n-6}{(n+2)(n+3)}\) принимает наибольшее значение. Рассмотрим разность
\begin{equation*}
\begin{gathered}
f(n+1)-f(n)=\frac{7 n+1}{(n+3)(n+4)}-\frac{7 n-6}{(n+2)(n+3)}= \\
=\frac{(n+2)(7 n+1)-(n+4)(7 n-6)}{(n+2)(n+3)(n+4)}=\frac{26-7 n}{(n+2)(n+3)(n+4)} .
\end{gathered}
\end{equation*}

Значит, \(f(n+1)-f(n)>0\) при \(n \leq 3\) и \(f(n+1)-f(n)<0\) при \(n \geq 4\). Таким образом, \(f(n)\) принимает наибольшее значение при \(n=4\). Следовательно,
\begin{equation*}
Q \leq 10+\frac{2(7 n-6)}{(n+2)(n+3)} \leq 10+2 f(4)=10+\frac{22}{21}=\frac{232}{21} \text {. }
\end{equation*}

Покажем, что отношение \(Q\) могло равняться \(\frac{232}{21}\). Пусть было написано шесть чисел \(1,2,3,4,5,6\), из которых получили числа \(1,23,37,47,57,67\). Тогда сумма чисел была равна 21 , а стала 232. Таким образом, \(Q=\frac{232}{21}\).

a) Пусть какая-то девочка собрала меньше грибов, чем какой-то мальчик. Добавим к ним пять других мальчиков и трёх других девочек. Получаем, что четыре девочки собрали меньше грибов, чем шесть мальчиков, что противоречит условию, поскольку любые две девочки собрали больше грибов, чем любые три мальчика.

б) Пусть десять мальчиков собрали \(91,92, \ldots, 100\) грибов соответственно, а семь девочек \(149,150, \ldots, 155\) грибов. Тогда условия задачи выполнены.

в) Пусть десять мальчиков собрали \(a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_{10}\) грибов соответственно, а семь девочек \(b_1 \leq b_2 \leq \ldots \leq b_7\) грибов. По условию
\begin{equation*}
a_8+a_9+a_{10}+1 \leq b_1+b_2 \text { и } b_5+b_6+b_7+1 \leq a_1+a_2+a_3+a_4+a_5 \text {. }
\end{equation*}

Получаем:
\begin{equation*}
\begin{gathered}
3\left(a_8+a_9+a_{10}\right)+5 \leq 3\left(b_1+b_2\right)+2 \leq 2\left(b_5+b_6+b_7+1\right) \leq \\
\leq 2\left(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5\right) \leq a_1+3\left(a_8+a_9+a_{10}\right),
\end{gathered}
\end{equation*}

откуда \(5 \leq a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_{10}\).
Аналогично,
\begin{equation*}
\begin{aligned}
3\left(b_5+b_6+b_7\right)+8 & \leq 3\left(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5\right)+5 \leq 5\left(a_8+a_9+a_{10}+1\right) \leq \\
& \leq 5\left(b_1+b_2\right) \leq b_1+3\left(b_5+b_6+b_7\right)
\end{aligned}
\end{equation*}

откуда \(8 \leq b_1 \leq b_2 \leq \ldots \leq b_7\).

Следовательно, суммарное число грибов не меньше \(10 \cdot 5+7 \cdot 8=106\).
Если десять мальчиков собрали по 5 грибов, а семь девочек по 8 грибов, то условия задачи выполнены, а суммарное число грибов равно 106. Таким образом, наименьшее суммарное число грибов равно 106. 

a) Средняя масса трёх гирек равнялась 10 г, а после добавления четвёртой стала равна 11 г. Значит, масса добавленной гирьки равна \(4 \cdot 11-3 \cdot 10=14\) (г), что невозможно, поскольку гирька с такой массой уже присутствует в первой куче.

б) Пусть в первой куче было \(n\) гирек, а их средняя масса равнялась \(a\) г. Тогда сумма масс всех гирек в ней равнялась \(na\) г. После того, как из второй кучи в первую переложили гирьку массой \(k\) г, в первой куче стало \(n+1\) гирек, их средняя масса стала равна \(a+1\) г, а сумма масс всех гирек в первой куче стала равна \(n a+k\) г. Таким образом,
\begin{equation*}
(n+1)(a+1)=n a+k ; n a+n+a+1=n a+k ; a=k-n-1 .
\end{equation*}

Следовательно, число \(a\) целое и не может равняться 8,5 .

в) Сумма масс \(n\) гирек не меньше \(1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}\), следовательно, \(a \geq \frac{n+1}{2}\). В первую кучу переложили гирьку массой \(k=a+n+1\) (г). Масса этой гирьки не превосходит 40 г, откуда получаем:
\begin{equation*}
40 \geq k=a+n+1 \geq \frac{n+1}{2}+n+1 ; \frac{3 n+3}{2} \leq 40 ; n \leq 25 \frac{2}{3} .
\end{equation*}

Следовательно, наибольшее значение \(n\) не превосходит 25 .
Покажем, что \(n\) может равняться 25. Если в первой куче лежало 25 гирек массой 1 г, 2 г, ..., 25 г и к ним добавили гирьку массой 39 г, то средняя масса была равна 13 г, а стала равна 14 г. Таким образом, наибольшее число гирек в первой куче равно 25.