a) Пусть в первой куче один камень массой 9000 граммов, во второй куче два камня, масса каждого из которых 4000 граммов, а в третьей куче 44 камня, масса каждого из которых 100 граммов. Тогда , , и условие задачи выполнено.

б) Заметим, что и . Следовательно, . Значит,

Таким образом, всегда выполнено неравенство . Значит, неравенство не может выполняться.

в) В пункте б было доказано, что .

Предположим, что . Тогда , что противоречит условию. Следовательно, .

Предположим, что . Тогда , что противоречит условию. Следовательно, .
Таким образом,

Значит, , откуда .

Покажем, что может быть равным 122. Пусть в первой куче 14 камней, каждый из которых весит 122 грамма, во второй куче 16 камней: 8 камней весят по 106 граммов и 8 камней весят по 107 граммов, а в третьей куче 17 камней, каждый из которых весит 100 граммов. 

Тогда , , и условие задачи выполнено.
 

a) Сумма четырёх интересных чисел 791, 792, 793 и 794 равна 3170.

б) Рассмотрим четыре интересных числа, последние цифры которых равны и соответственно. Тогда две последние цифры суммы этих чисел совпадают с двумя последними цифрами суммы:

Сумма может принимать любые целые значения от 0 до 36 . Значит, две последние цифры суммы четырёх интересных чисел могут принимать любые целые значения от 60 до 96 , и только такие значения. Следовательно, число 2121 нельзя представить в виде суммы четырёх интересных чисел.

в) Рассмотрим интересных чисел, последние цифры которых равны соответственно. Тогда две последние цифры суммы этих чисел совпадают с двумя последними цифрами суммы:

Сумма может принимать любые целые значения от 0 до . Значит, две последние цифры суммы интересных чисел могут принимать любые целые значения от до , и только такие значения.

Наименьшим решением неравенства является число 8. Следовательно, при число 2121 невозможно представить в виде суммы интересных чисел.

Приведём пример, как представить 2121 в виде суммы восьми интересных чисел:

а) Рассмотрим прогрессию из четырёх членов: . Она содержит число 686 и удовлетворяет условию задачи.

б) Предположим, что прогрессия содержит число . Отношение чисел и равно . Это отношение нельзя представить в виде степени рационального числа с натуральным показателем, отличным от  

Следовательно, знаменатель прогрессии равен , а - её второй член. В этом случае третий член прогрессии должен быть равен
  но это противоречит тому, что прогрессия состоит из трёхзначных чисел.

в) Заметим, что . Представим знаменатель прогрессии в виде несократимой дроби .
Предположим, что прогрессия состоит из трёх чисел. Тогда её третий член равен
 
Это выражение достигает наибольшего значения, меньшего , при наибольшем целом таком, что , то есть при В этом случае третий член прогрессии равен .

Если прогрессия состоит из другого нечётного числа членов, то найдётся геометрическая прогрессия, состоящая из трёх членов, первый и последний члены которой совпадают с первым и последним членом исходной прогрессии, поэтому в этих случаях наибольший член прогрессии не превосходит .

Предположим, что прогрессия состоит из четырёх чисел. Тогда её четвёртый член равен

Это выражение достигает наибольшего значения, меньшего 1000 , при наиболышем целом таком, что , то есть при . В этом случае четвёртый член прогрессии равен .

Предположим, что прогрессия состоит из шести чисел. Тогда её шестой член равен

Это выражение достигает наибольшего значения, меньшего при наибольшем целом таком, что , то есть при . В этом случае шестой член прогрессии равен
Если в прогрессии восемь членов или больше, рассмотрим её восьмой член. Он равен

Заметим, что единственное трёхзначное число, являющееся седьмой степенью натурального числа - это то есть в этом случае прогрессия постоянна, а её наибольший член равен

Таким образом, наибольшее число, являющееся членом такой прогрессии, равно

a) Рассмотрим трёхзначное число Сумма его цифр равна а отношение числа к этой сумме равно

б) Обозначим первую цифру трёхзначного числа через , вторую - через , третью - через . Тогда число равно , а сумма его цифр , откуда получаем:

Левая часть полученного равенства не превосходит поскольку . Следовательно, правая часть этого равенства не должна превосходить и должна делиться на

При правая часть больше а для других значений и принимает значения и Среди этих чисел только делится на но в этом случае число должно равняться что невозможно, поскольку исходное число трёхзначное. 

Таким образом. отношение не может быть равным

в) Обозначим вторую цифру трёхзначного числа через , а третью через . Тогда отношение числа к сумме его цифр равно

Заметим, что

Следовательно, при неотрицательных значениях и функция убывает по каждому из аргументов. 

Для каждого значения , начиная с наибольшего, будем искать однозначные числа и такие, чтобы принимала целые значения.

Если , то не принимает целых значений. 

Если , то принимает целое значение при , но в этом случае , что невозможно.

Если , то принимает целое значение при , но в этом случае , что невозможно.

Если , то принимает целое значение при , но в этом случае , что невозможно.

Если , то принимает целое значение при чётных , при этом наименьшее значение достигается при и и равно 26.

Если , то

.

Таким образом, наименьшее значение искомого отношения равно для числа и суммы его цифр.

Обозначим члены последовательности через . По условию

Обозначим . Из первых неравенств получим:

Складывая неравенства, будем иметь:

Пусть .

a) Если , то и из (3) . Противоречие.

б) Если . Противоречие.

в) . Отсюда . 

Легко построить пример последовательности, удовлетворяющей при условию задачи (все неравенства (*) должны быть равенствами): .
 

a) Сумма цифр числа равна Таким образом, произведение этого числа и суммы его цифр равно

б) Заметим, что , причём и - простые числа. Сумма цифр трёхзначного числа не превосходит следовательно, если для некоторого трёхзначного числа выполняется равенство , то это число должно делиться и на и на что невозможно, поскольку это число трёхзначное. 
Таким образом, произведение не может быть равно

в) Заметим, что сумма цифр числа имеет такой же остаток при делении на как и само число. Следовательно, даёт такой же остаток при делении на как и . Пусть , где . 

Тогда

то есть остаток от деления на совпадает с остатком от деления на  
Этот остаток может быть равен или поскольку принимает значения . 

Таким образом, остаток от деления произведения на может быть равен или

Будем последовательно рассматривать числа, меньшие 5997, для которых остаток от деления на равен или

Будем последовательно рассматривать числа, меньшие 5997, для которых остаток от деления на равен или

Число даёт остаток при делении на Это число раскладывается в произведение простых множителей следующим образом: , а значит, его можно прелставить в виде произведения трёхзначного числа на какое-то другое число следующими способами:

Ни для какого из этих способов первый множитель не равен сумме цифр второго множителя.

Число даёт остаток при делении на Это число раскладывается
в произведение простых множителей следующим образом: , а значит, его можно представить в виде произведения трёхзначного числа на какое-то другое число следующими способами:

Ни для какого из этих способов первый множитель не равен сумме цифр второго множителя.

Число даёт остаток при делении на Это число раскладывается
в произведение простых множителей следующим образом: ,
а значит, его можно представить в виде произведения трёхзначного числа на какое-то другое число следующими способами:

Сумма цифр трёхзначного числа равна Следовательно, для этого числа .

Таким образом, наибольшее значение произведения , меньшее равно