19. Задачи олимпиадного уровня
Чтобы получить дополнительный функционал нужно войти.
(ЕГЭ, 2022) У ювелира есть 47 полудрагоценных камней, масса каждого из которых целое число граммов, не меньшее 100 (некоторые камни могут иметь равную массу). Эти камни распределили по трём кучам: в первой куче
a) Может ли выполняться неравенство
б) Может ли выполняться неравенство
в) Известно, что масса любого камня не превосходит
Решение
a) Пусть в первой куче один камень массой 9000 граммов, во второй куче два камня, масса каждого из которых 4000 граммов, а в третьей куче 44 камня, масса каждого из которых 100 граммов. Тогда
б) Заметим, что
Таким образом, всегда выполнено неравенство
в) В пункте б было доказано, что
Предположим, что
Предположим, что
Таким образом,
Значит,
Покажем, что
Тогда
Ответ
(ЕГЭ, 2021) Назовём натуральное число интересным, если предпоследняя цифра в его десятичной записи равна 9. Например, числа 90, 193 и 2090 интересные, а 9, 919 и 2020 - нет.
a) Можно ли представить число 3170 в виде суммы четырёх интересных чисел?
б) Можно ли представить число 2121 в виде суммы четырёх интересных чисел?
в) Сумма
Решение
a) Сумма четырёх интересных чисел 791, 792, 793 и 794 равна 3170.
б) Рассмотрим четыре интересных числа, последние цифры которых равны
Сумма
в) Рассмотрим
Сумма
Наименьшим решением неравенства
Приведём пример, как представить 2121 в виде суммы восьми интересных чисел:
Ответ
(ЕГЭ, 2021) Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из трёхзначных натуральных чисел, равен
a) Может ли число
б) Может ли число
в) Какое наибольшее число может являться членом такой прогрессии?
Решение
а) Рассмотрим прогрессию из четырёх членов:
б) Предположим, что прогрессия содержит число
Следовательно, знаменатель прогрессии равен
в) Заметим, что
Предположим, что прогрессия состоит из трёх чисел. Тогда её третий член равен
Это выражение достигает наибольшего значения, меньшего
Если прогрессия состоит из другого нечётного числа членов, то найдётся геометрическая прогрессия, состоящая из трёх членов, первый и последний члены которой совпадают с первым и последним членом исходной прогрессии, поэтому в этих случаях наибольший член прогрессии не превосходит
Предположим, что прогрессия состоит из четырёх чисел. Тогда её четвёртый член равен
Это выражение достигает наибольшего значения, меньшего 1000 , при наиболышем целом
Предположим, что прогрессия состоит из шести чисел. Тогда её шестой член равен
Это выражение достигает наибольшего значения, меньшего
Если в прогрессии восемь членов или больше, рассмотрим её восьмой член. Он равен
Заметим, что единственное трёхзначное число, являющееся седьмой степенью натурального числа - это
Таким образом, наибольшее число, являющееся членом такой прогрессии, равно
Ответ
(ЕГЭ, 2021) Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр - целое число.
a) Может ли это отношение быть равным
б) Может ли это отношение быть равным
в) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трёхзначного числа равна
Решение
a) Рассмотрим трёхзначное число
б) Обозначим первую цифру трёхзначного числа через
Левая часть полученного равенства не превосходит
При
Таким образом. отношение не может быть равным
в) Обозначим вторую цифру трёхзначного числа через
Заметим, что
Следовательно, при неотрицательных значениях
Для каждого значения
Если
Если
Если
Если
Если
Если
Таким образом, наименьшее значение искомого отношения равно
Ответ
(ЕГЭ, 2021) В последовательности из
a) Может ли второй член такой последовательности быть отрицательным
б) Может ли второй член такой последовательности быть равным
в) Найдите наименьшее значение второго члена такой последовательности.
Решение
Обозначим члены последовательности через
Обозначим
Складывая неравенства, будем иметь:
Пусть
a) Если
б) Если
в)
Легко построить пример последовательности, удовлетворяющей при
Ответ
(ЕГЭ, 2021) Сумма цифр трёхзначного числа
а) Может ли произведение
б) Может ли произведение
в) Найдите наибольшее значение произведения
Решение
a) Сумма цифр числа
б) Заметим, что
Таким образом, произведение не может быть равно
в) Заметим, что сумма цифр числа имеет такой же остаток при делении на
Тогда
то есть остаток от деления
Этот остаток может быть равен
Таким образом, остаток от деления произведения
Будем последовательно рассматривать числа, меньшие 5997, для которых остаток от деления на
Будем последовательно рассматривать числа, меньшие 5997, для которых остаток от деления на
Число
Ни для какого из этих способов первый множитель не равен сумме цифр второго множителя.
Число
в произведение простых множителей следующим образом:
Ни для какого из этих способов первый множитель не равен сумме цифр второго множителя.
Число
в произведение простых множителей следующим образом:
а значит, его можно представить в виде произведения трёхзначного числа на какое-то другое число следующими способами:
Сумма цифр трёхзначного числа
Таким образом, наибольшее значение произведения