a) Пусть в первой куче один камень массой 9000 граммов, во второй куче два камня, масса каждого из которых 4000 граммов, а в третьей куче 44 камня, масса каждого из которых 100 граммов. Тогда \(S_1=9000, S_2=8000\), \(S_3=4400\), и условие задачи выполнено.

б) Заметим, что \(3 n_1<n_1+n_2+n_3=47\) и \(3 n_3>n_1+n_2+n_3=47\). Следовательно, \(n_1 \leq 15, n_3 \geq 16\). Значит,
\(S_1 \leq 105 n_1 \leq 105 \cdot 15=1575, \)

\(S_3 \geq 100 n_3 \geq 100 \cdot 16=1600 .\)

Таким образом, всегда выполнено неравенство \(S_1<S_3\). Значит, неравенство \(S_1>S_2>S_3\) не может выполняться.

в) В пункте б было доказано, что \(n_1 \leq 15, n_3 \geq 16\).

Предположим, что \(n_1=15\). Тогда \(n_2 \geq 16, n_3 \geq 17 ; n_1+n_2+n_3 \geq 48\), что противоречит условию. Следовательно, \(n_1 \leq 14\).

Предположим, что \(n_3=16\). Тогда \(n_2 \leq 15, n_1 \leq 14 ; n_1+n_2+n_3 \leq 45\), что противоречит условию. Следовательно, \(n_3 \geq 17\).
Таким образом,
\(S_1 \leq k \cdot n_1 \leq 14 k, \)

\(S_3 \geq 100 n_3 \geq 10017=1700 .\)

Значит, \(14 k>1700 ; k>121 \dfrac{3}{7}\), откуда \(k \geq 122\).

Покажем, что \(k\) может быть равным 122. Пусть в первой куче 14 камней, каждый из которых весит 122 грамма, во второй куче 16 камней: 8 камней весят по 106 граммов и 8 камней весят по 107 граммов, а в третьей куче 17 камней, каждый из которых весит 100 граммов. 

Тогда \(S_1=1708\), \(S_2=1704, S_3=1700\), и условие задачи выполнено.
 

a) Сумма четырёх интересных чисел 791, 792, 793 и 794 равна 3170.

б) Рассмотрим четыре интересных числа, последние цифры которых равны \(a_1, a_2, a_3\) и \(a_4\) соответственно. Тогда две последние цифры суммы этих чисел совпадают с двумя последними цифрами суммы:

\(\left(90+a_1\right)+\left(90+a_2\right)+\left(90+a_3\right)+\left(90+a_4\right)=\)

\(360+a_1+a_2+a_3+a_4 .\)

Сумма \(a_1+a_2+a_3+a_4\) может принимать любые целые значения от 0 до 36 . Значит, две последние цифры суммы четырёх интересных чисел могут принимать любые целые значения от 60 до 96 , и только такие значения. Следовательно, число 2121 нельзя представить в виде суммы четырёх интересных чисел.

в) Рассмотрим \(n \leq 10\) интересных чисел, последние цифры которых равны \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) соответственно. Тогда две последние цифры суммы этих чисел совпадают с двумя последними цифрами суммы:

\(\left(90+a_1\right)+\left(90+a_2\right)+\ldots+\left(90+a_n\right)=\)

\(90 n+a_1+a_2+\ldots+a_n .\)

Сумма \(a_1+a_2+\ldots+a_n\) может принимать любые целые значения от 0 до \(9 n\). Значит, две последние цифры суммы \(n\) интересных чисел могут принимать любые целые значения от \(100-10 n\) до \(100-n\), и только такие значения.

Наименьшим решением неравенства \(100-10 n \leq 21 \leq 100-n\) является число 8. Следовательно, при \(n \leq 7\) число 2121 невозможно представить в виде суммы \(n\) интересных чисел.

Приведём пример, как представить 2121 в виде суммы восьми интересных чисел:

\(2121=90+90+90+90+90+90+90+1491 .\)

а) Рассмотрим прогрессию из четырёх членов: \(128,224,392,686\). Она содержит число 686 и удовлетворяет условию задачи.

б) Предположим, что прогрессия содержит число \(496\). Отношение чисел \(496\) и \(128\) равно \(\dfrac{31}{8}\). Это отношение нельзя представить в виде степени рационального числа с натуральным показателем, отличным от \(1.\)  

Следовательно, знаменатель прогрессии равен \(\dfrac{31}{8}\), а \(496\) - её второй член. В этом случае третий член прогрессии должен быть равен
 \(\dfrac{31}{8} \cdot 496=1922,\) но это противоречит тому, что прогрессия состоит из трёхзначных чисел.

в) Заметим, что \(128=2^7\). Представим знаменатель прогрессии в виде несократимой дроби \(\dfrac{a}{b}\).
Предположим, что прогрессия состоит из трёх чисел. Тогда её третий член равен
\begin{equation*}
\left(\dfrac{a}{b}\right)^2 \cdot 128=\dfrac{a^2}{b^2} \cdot 2^7=2 \cdot\left(\dfrac{8 a}{b}\right)^2 .
\end{equation*} 
Это выражение достигает наибольшего значения, меньшего \(1000\) , при наибольшем целом \(\dfrac{8 a}{b}\) таком, что \(\left(\dfrac{8 a}{b}\right)^2<\dfrac{1000}{2}=500\), то есть при \(\dfrac{8 a}{b}=22.\) В этом случае третий член прогрессии равен \(968\).

Если прогрессия состоит из другого нечётного числа членов, то найдётся геометрическая прогрессия, состоящая из трёх членов, первый и последний члены которой совпадают с первым и последним членом исходной прогрессии, поэтому в этих случаях наибольший член прогрессии не превосходит \(968\).

Предположим, что прогрессия состоит из четырёх чисел. Тогда её четвёртый член равен
\begin{equation*}
\left(\dfrac{a}{b}\right)^3 \cdot 128=\dfrac{a^3}{b^3} \cdot 2^7=2 \cdot\left(\dfrac{4 a}{b}\right)^3 .
\end{equation*}
Это выражение достигает наибольшего значения, меньшего 1000 , при наиболышем целом \(\dfrac{4 a}{b}\) таком, что \(\left(\dfrac{4 a}{b}\right)^3<\dfrac{1000}{2}=500\), то есть при \(\dfrac{4 a}{b}=7\). В этом случае четвёртый член прогрессии равен \(686\).

Предположим, что прогрессия состоит из шести чисел. Тогда её шестой член равен
\begin{equation*}
\left(\dfrac{a}{b}\right)^5 \cdot 128=\dfrac{a^5}{b^5} \cdot 2^7=2^2 \cdot\left(\dfrac{2 a}{b}\right)^5 .
\end{equation*}
Это выражение достигает наибольшего значения, меньшего \(1000,\) при наибольшем целом \(\dfrac{2 a}{b}\) таком, что \(\left(\dfrac{2 a}{b}\right)^5<\dfrac{1000}{4}=250\), то есть при \(\dfrac{2 a}{b}=3\). В этом случае шестой член прогрессии равен \(972.\)
Если в прогрессии восемь членов или больше, рассмотрим её восьмой член. Он равен
\begin{equation*}
\left(\dfrac{a}{b}\right)^7 \cdot 128=\left(\dfrac{2 a}{b}\right)^7 .
\end{equation*}
Заметим, что единственное трёхзначное число, являющееся седьмой степенью натурального числа - это \(128,\) то есть в этом случае прогрессия постоянна, а её наибольший член равен \(128.\)

Таким образом, наибольшее число, являющееся членом такой прогрессии, равно \(972.\)

a) Рассмотрим трёхзначное число \(102.\) Сумма его цифр равна \(3,\) а отношение числа к этой сумме равно \(34.\)

б) Обозначим первую цифру трёхзначного числа через \(a\), вторую - через \(b\), третью - через \(c\). Тогда число равно \(100 a+10 b+c\), а сумма его цифр \(a+b+c\), откуда получаем:

\(100 a+10 b+c=84 a+84 b+84 c ;\)

\(16 a=74 b+83 c .\)

Левая часть полученного равенства не превосходит \(144,\) поскольку \(a \leq 9\). Следовательно, правая часть этого равенства не должна превосходить \(144\) и должна делиться на \(16.\)

При \(b+c \geq 2\) правая часть больше \(144,\) а для других значений \(b\) и \(c\) принимает значения \(0.74\) и \(83.\) Среди этих чисел только \(0\) делится на \(16,\) но в этом случае число \(a\) должно равняться \(0,\) что невозможно, поскольку исходное число трёхзначное. 

Таким образом. отношение не может быть равным \(84.\)

в) Обозначим вторую цифру трёхзначного числа через \(b\), а третью через \(c\). Тогда отношение числа к сумме его цифр равно

\(f(b ; c)=\dfrac{400+10 b+c}{4+b+c} .\)

Заметим, что

\(f(b ; c)=10+\dfrac{9(40-c)}{4+b+c} .\)

Следовательно, при неотрицательных значениях \(b\) и \(c\) функция \(f(b ; c)\) убывает по каждому из аргументов. 

Для каждого значения \(b+c\), начиная с наибольшего, будем искать однозначные числа \(b\) и \(c\) такие, чтобы \(f(b ; c)\) принимала целые значения.

Если \(b+c=18\), то \(f(18-c ; c)=10+\dfrac{9(40-c)}{22}\) не принимает целых значений. 

Если \(b+c=17\), то \(f(17-c ; c)=10+\dfrac{9(40-c)}{21}\) принимает целое значение при \(c=5\), но в этом случае \(b=12\), что невозможно.

Если \(b+c=16\), то \(f(16-c ; c)=10+\dfrac{9(40-c)}{20}\) принимает целое значение при \(c=0\), но в этом случае \(b=16\), что невозможно.

Если \(b+c=15\), то \(f(15-c ; c)=10+\dfrac{9(40-c)}{19}\) принимает целое значение при \(c=2\), но в этом случае \(b=13\), что невозможно.

Если \(b+c=14\), то \(f(14-c ; c)=10+\dfrac{9(40-c)}{18}\) принимает целое значение при чётных \(c\), при этом наименьшее значение достигается при \(c=8\) и \(b=6\) и равно 26.

Если \(b+c \leq 13\), то \(f(b ; c)=10+\dfrac{9(40-c)}{4+b+c} \geq 10+\)

\(\dfrac{9(40-9)}{4+13}>26\).

Таким образом, наименьшее значение искомого отношения равно \(26\) для числа \(468\) и суммы его цифр.

Обозначим члены последовательности через \(a_1, a_2, \ldots, a_{80}\). По условию
\(a_k>\dfrac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2} \Rightarrow 2 a_k>a_{k-1}+a_{k+1} \Rightarrow \)

\(a_k-a_{k-1}>a_{k+1}-a_k \quad(k=2,3, \ldots, 79)\)

Обозначим \(\Delta=a_2-a_1\). Из первых неравенств получим:

\((*) a_2-a_1=\Delta, \)

\(a_3-a_2<\Delta \Rightarrow a_3-a_2 \leq \Delta-1, \)

\(a_4-a_3<\Delta-1 \Rightarrow a_4-a_3 \leq \Delta-2, \)

\(\cdots \)

\(a_{80}-a_{79} \leq \Delta-78 .\)

Складывая неравенства, будем иметь:

\(a_{80}-a_1 \leq 79 \Delta-(1+2+\ldots+78)=\)

\(79 \Delta-\dfrac{78 \cdot 79}{2}=79(\Delta-39) \text {. }\)

Пусть \(a_1=0\).

a) Если \(a_2<0\), то \(\Delta<0\) и из (3) \(a_{80}<0\). Противоречие.

б) Если \(a_2=20, a_{80} \leq-79 \cdot 19<0\). Противоречие.

в) \(a_2=\Delta \Rightarrow a_{80}=0 \leq 79\left(a_2-39\right)\). Отсюда \(a_2 \geq 39\). 

Легко построить пример последовательности, удовлетворяющей при \(a_2=39\) условию задачи (все неравенства (*) должны быть равенствами): \(0,39,77,114, \ldots, 39,0\).
 

a) Сумма цифр числа \(280\) равна \(10.\) Таким образом, произведение этого числа и суммы его цифр равно \(2800.\)

б) Заметим, что \(2491=47 \cdot 53\), причём \(47\) и \(53\) - простые числа. Сумма цифр трёхзначного числа не превосходит \(27,\) следовательно, если для некоторого трёхзначного числа \(A\) выполняется равенство \(A \cdot S=2491\), то это число должно делиться и на \(47,\) и на \(53,\) что невозможно, поскольку это число трёхзначное. 
Таким образом, произведение не может быть равно \(2491.\)

в) Заметим, что сумма цифр числа имеет такой же остаток при делении на \(9,\) как и само число. Следовательно, \(A \cdot S\) даёт такой же остаток при делении на \(9,\) как и \(S^2\). Пусть \(S=9 k+r\), где \(0 \leq r \leq 8\). 

Тогда \(S^2=81 k^2+18 k r+r^2=9\left(9 k^2+2 k r\right)+r^2,\)

то есть остаток от деления \(S^2\) на \(9\) совпадает с остатком от деления \(r^2\) на \(9. \) 
Этот остаток может быть равен \(0 ; 1 ; 4\) или \(7,\) поскольку \(r^2\) принимает значения \(0 ; 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ; 64\). 

Таким образом, остаток от деления произведения \(A \cdot S\) на \(9\) может быть равен \(0 ; 1 ; 4\) или \(7.\)

Будем последовательно рассматривать числа, меньшие 5997, для которых остаток от деления на \(9\) равен \(0 ; 1 ; 4\) или \(7.\)

Будем последовательно рассматривать числа, меньшие 5997, для которых остаток от деления на \(9\) равен \(0 ; 1 ; 4\) или \(7.\)

Число \(5995\) даёт остаток \(1\) при делении на \(9.\) Это число раскладывается в произведение простых множителей следующим образом: \(5995=5 \cdot 11 \cdot 109\), а значит, его можно прелставить в виде произведения трёхзначного числа на какое-то другое число следующими способами:

\(5995=55 \cdot 109=11 \cdot 545 .\)

Ни для какого из этих способов первый множитель не равен сумме цифр второго множителя.

Число \(5994\) даёт остаток \(0\) при делении на \(9.\) Это число раскладывается
в произведение простых множителей следующим образом: \(5994=2 \cdot 3^4 \cdot 37\), а значит, его можно представить в виде произведения трёхзначного числа на какое-то другое число следующими способами:

\(5994=54 \cdot 111=37 \cdot 162=27 \cdot 222=\)

\(18 \cdot 333=9 \cdot 666=6 \cdot 999 \text {. }\)

Ни для какого из этих способов первый множитель не равен сумме цифр второго множителя.

Число \(5992\) даёт остаток \(7\) при делении на \(9.\) Это число раскладывается
в произведение простых множителей следующим образом: \(5992=2^3 \cdot 7 \cdot 107\),
а значит, его можно представить в виде произведения трёхзначного числа на какое-то другое число следующими способами:

\(5992=56 \cdot 107=28 \cdot 214=14 \cdot 428=\)

\(8 \cdot 749=7 \cdot 856 .\)

Сумма цифр трёхзначного числа \(A=428\) равна \(14.\) Следовательно, для этого числа \(A \cdot S=5992\).

Таким образом, наибольшее значение произведения \(A \cdot S\), меньшее \(5997,\) равно \(5992.\)