19. Задачи олимпиадного уровня
☀️ 🌙

19. Задачи олимпиадного уровня

Чтобы получить дополнительный функционал нужно войти.


назад
92

 (ЕГЭ, 2022) У ювелира есть 47 полудрагоценных камней, масса каждого из которых целое число граммов, не меньшее 100 (некоторые камни могут иметь равную массу). Эти камни распределили по трём кучам: в первой куче \(n_1\) камней, во второй \(-n_2\) камней, а в третьей \(-n_3\) камней, причём \(n_1<n_2<n_3\). Суммарная масса (в граммах) камней в первой куче равна \(S_1\), во второй \(-S_2\), а в третьей \(-S_3\).
    
a) Может ли выполняться неравенство \(S_1>S_2>S_3\) ?

б) Может ли выполняться неравенство \(S_1>S_2>S_3\), если масса любого камня не превосходит 105 граммов?

в) Известно, что масса любого камня не превосходит \(k\) граммов. Найдите наименьшее целое значение \(k\), для которого может выполняться неравенство \(S_1>S_2>S_3\).

Решение

a) Пусть в первой куче один камень массой 9000 граммов, во второй куче два камня, масса каждого из которых 4000 граммов, а в третьей куче 44 камня, масса каждого из которых 100 граммов. Тогда \(S_1=9000, S_2=8000\), \(S_3=4400\), и условие задачи выполнено.

б) Заметим, что \(3 n_1<n_1+n_2+n_3=47\) и \(3 n_3>n_1+n_2+n_3=47\). Следовательно, \(n_1 \leq 15, n_3 \geq 16\). Значит,
\(S_1 \leq 105 n_1 \leq 105 \cdot 15=1575, \)

\(S_3 \geq 100 n_3 \geq 100 \cdot 16=1600 .\)

Таким образом, всегда выполнено неравенство \(S_1<S_3\). Значит, неравенство \(S_1>S_2>S_3\) не может выполняться.

в) В пункте б было доказано, что \(n_1 \leq 15, n_3 \geq 16\).

Предположим, что \(n_1=15\). Тогда \(n_2 \geq 16, n_3 \geq 17 ; n_1+n_2+n_3 \geq 48\), что противоречит условию. Следовательно, \(n_1 \leq 14\).

Предположим, что \(n_3=16\). Тогда \(n_2 \leq 15, n_1 \leq 14 ; n_1+n_2+n_3 \leq 45\), что противоречит условию. Следовательно, \(n_3 \geq 17\).
Таким образом,
\(S_1 \leq k \cdot n_1 \leq 14 k, \)

\(S_3 \geq 100 n_3 \geq 10017=1700 .\)

Значит, \(14 k>1700 ; k>121 \dfrac{3}{7}\), откуда \(k \geq 122\).

Покажем, что \(k\) может быть равным 122. Пусть в первой куче 14 камней, каждый из которых весит 122 грамма, во второй куче 16 камней: 8 камней весят по 106 граммов и 8 камней весят по 107 граммов, а в третьей куче 17 камней, каждый из которых весит 100 граммов. 

Тогда \(S_1=1708\), \(S_2=1704, S_3=1700\), и условие задачи выполнено.
 

Ответ
а) да; б) нет; в) 122.
124

(ЕГЭ, 2021) Назовём натуральное число интересным, если предпоследняя цифра в его десятичной записи равна 9. Например, числа 90, 193 и 2090 интересные, а 9, 919 и 2020 - нет.
    
a) Можно ли представить число 3170 в виде суммы четырёх интересных чисел?

б) Можно ли представить число 2121 в виде суммы четырёх интересных чисел?

в) Сумма \(n\) интересных чисел равна 2121. Найдите наименьшее значение \(n\).

Решение

a) Сумма четырёх интересных чисел 791, 792, 793 и 794 равна 3170.

б) Рассмотрим четыре интересных числа, последние цифры которых равны \(a_1, a_2, a_3\) и \(a_4\) соответственно. Тогда две последние цифры суммы этих чисел совпадают с двумя последними цифрами суммы:

\(\left(90+a_1\right)+\left(90+a_2\right)+\left(90+a_3\right)+\left(90+a_4\right)=\)

\(360+a_1+a_2+a_3+a_4 .\)

Сумма \(a_1+a_2+a_3+a_4\) может принимать любые целые значения от 0 до 36 . Значит, две последние цифры суммы четырёх интересных чисел могут принимать любые целые значения от 60 до 96 , и только такие значения. Следовательно, число 2121 нельзя представить в виде суммы четырёх интересных чисел.

в) Рассмотрим \(n \leq 10\) интересных чисел, последние цифры которых равны \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) соответственно. Тогда две последние цифры суммы этих чисел совпадают с двумя последними цифрами суммы:

\(\left(90+a_1\right)+\left(90+a_2\right)+\ldots+\left(90+a_n\right)=\)

\(90 n+a_1+a_2+\ldots+a_n .\)

Сумма \(a_1+a_2+\ldots+a_n\) может принимать любые целые значения от 0 до \(9 n\). Значит, две последние цифры суммы \(n\) интересных чисел могут принимать любые целые значения от \(100-10 n\) до \(100-n\), и только такие значения.

Наименьшим решением неравенства \(100-10 n \leq 21 \leq 100-n\) является число 8. Следовательно, при \(n \leq 7\) число 2121 невозможно представить в виде суммы \(n\) интересных чисел.

Приведём пример, как представить 2121 в виде суммы восьми интересных чисел:

\(2121=90+90+90+90+90+90+90+1491 .\)

Ответ
а) да; б) нет; в) 8.
125

(ЕГЭ, 2021) Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из трёхзначных натуральных чисел, равен \(128.\) Известно, что в прогрессии не меньше трёх чисел.
    
a) Может ли число \(686\) являться членом такой прогрессии?

б) Может ли число \(496\) являться членом такой прогрессии?

в) Какое наибольшее число может являться членом такой прогрессии?

Решение

а) Рассмотрим прогрессию из четырёх членов: \(128,224,392,686\). Она содержит число 686 и удовлетворяет условию задачи.

б) Предположим, что прогрессия содержит число \(496\). Отношение чисел \(496\) и \(128\) равно \(\dfrac{31}{8}\). Это отношение нельзя представить в виде степени рационального числа с натуральным показателем, отличным от \(1.\)  

Следовательно, знаменатель прогрессии равен \(\dfrac{31}{8}\), а \(496\) - её второй член. В этом случае третий член прогрессии должен быть равен
 \(\dfrac{31}{8} \cdot 496=1922,\) но это противоречит тому, что прогрессия состоит из трёхзначных чисел.

в) Заметим, что \(128=2^7\). Представим знаменатель прогрессии в виде несократимой дроби \(\dfrac{a}{b}\).
Предположим, что прогрессия состоит из трёх чисел. Тогда её третий член равен
\begin{equation*}
\left(\dfrac{a}{b}\right)^2 \cdot 128=\dfrac{a^2}{b^2} \cdot 2^7=2 \cdot\left(\dfrac{8 a}{b}\right)^2 .
\end{equation*} 
Это выражение достигает наибольшего значения, меньшего \(1000\) , при наибольшем целом \(\dfrac{8 a}{b}\) таком, что \(\left(\dfrac{8 a}{b}\right)^2<\dfrac{1000}{2}=500\), то есть при \(\dfrac{8 a}{b}=22.\) В этом случае третий член прогрессии равен \(968\).

Если прогрессия состоит из другого нечётного числа членов, то найдётся геометрическая прогрессия, состоящая из трёх членов, первый и последний члены которой совпадают с первым и последним членом исходной прогрессии, поэтому в этих случаях наибольший член прогрессии не превосходит \(968\).

Предположим, что прогрессия состоит из четырёх чисел. Тогда её четвёртый член равен
\begin{equation*}
\left(\dfrac{a}{b}\right)^3 \cdot 128=\dfrac{a^3}{b^3} \cdot 2^7=2 \cdot\left(\dfrac{4 a}{b}\right)^3 .
\end{equation*}
Это выражение достигает наибольшего значения, меньшего 1000 , при наиболышем целом \(\dfrac{4 a}{b}\) таком, что \(\left(\dfrac{4 a}{b}\right)^3<\dfrac{1000}{2}=500\), то есть при \(\dfrac{4 a}{b}=7\). В этом случае четвёртый член прогрессии равен \(686\).

Предположим, что прогрессия состоит из шести чисел. Тогда её шестой член равен
\begin{equation*}
\left(\dfrac{a}{b}\right)^5 \cdot 128=\dfrac{a^5}{b^5} \cdot 2^7=2^2 \cdot\left(\dfrac{2 a}{b}\right)^5 .
\end{equation*}
Это выражение достигает наибольшего значения, меньшего \(1000,\) при наибольшем целом \(\dfrac{2 a}{b}\) таком, что \(\left(\dfrac{2 a}{b}\right)^5<\dfrac{1000}{4}=250\), то есть при \(\dfrac{2 a}{b}=3\). В этом случае шестой член прогрессии равен \(972.\)
Если в прогрессии восемь членов или больше, рассмотрим её восьмой член. Он равен
\begin{equation*}
\left(\dfrac{a}{b}\right)^7 \cdot 128=\left(\dfrac{2 a}{b}\right)^7 .
\end{equation*}
Заметим, что единственное трёхзначное число, являющееся седьмой степенью натурального числа - это \(128,\) то есть в этом случае прогрессия постоянна, а её наибольший член равен \(128.\)

Таким образом, наибольшее число, являющееся членом такой прогрессии, равно \(972.\)

Ответ
а) да; б) нет; в) 972.
126

(ЕГЭ, 2021) Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр - целое число.
    
a) Может ли это отношение быть равным \(34?\)

б) Может ли это отношение быть равным \(84?\)

в) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трёхзначного числа равна \(4?\)

Решение

a) Рассмотрим трёхзначное число \(102.\) Сумма его цифр равна \(3,\) а отношение числа к этой сумме равно \(34.\)

б) Обозначим первую цифру трёхзначного числа через \(a\), вторую - через \(b\), третью - через \(c\). Тогда число равно \(100 a+10 b+c\), а сумма его цифр \(a+b+c\), откуда получаем:

\(100 a+10 b+c=84 a+84 b+84 c ;\)

\(16 a=74 b+83 c .\)

Левая часть полученного равенства не превосходит \(144,\) поскольку \(a \leq 9\). Следовательно, правая часть этого равенства не должна превосходить \(144\) и должна делиться на \(16.\)

При \(b+c \geq 2\) правая часть больше \(144,\) а для других значений \(b\) и \(c\) принимает значения \(0.74\) и \(83.\) Среди этих чисел только \(0\) делится на \(16,\) но в этом случае число \(a\) должно равняться \(0,\) что невозможно, поскольку исходное число трёхзначное. 

Таким образом. отношение не может быть равным \(84.\)

в) Обозначим вторую цифру трёхзначного числа через \(b\), а третью через \(c\). Тогда отношение числа к сумме его цифр равно

\(f(b ; c)=\dfrac{400+10 b+c}{4+b+c} .\)

Заметим, что

\(f(b ; c)=10+\dfrac{9(40-c)}{4+b+c} .\)

Следовательно, при неотрицательных значениях \(b\) и \(c\) функция \(f(b ; c)\) убывает по каждому из аргументов. 

Для каждого значения \(b+c\), начиная с наибольшего, будем искать однозначные числа \(b\) и \(c\) такие, чтобы \(f(b ; c)\) принимала целые значения.

Если \(b+c=18\), то \(f(18-c ; c)=10+\dfrac{9(40-c)}{22}\) не принимает целых значений. 

Если \(b+c=17\), то \(f(17-c ; c)=10+\dfrac{9(40-c)}{21}\) принимает целое значение при \(c=5\), но в этом случае \(b=12\), что невозможно.

Если \(b+c=16\), то \(f(16-c ; c)=10+\dfrac{9(40-c)}{20}\) принимает целое значение при \(c=0\), но в этом случае \(b=16\), что невозможно.

Если \(b+c=15\), то \(f(15-c ; c)=10+\dfrac{9(40-c)}{19}\) принимает целое значение при \(c=2\), но в этом случае \(b=13\), что невозможно.

Если \(b+c=14\), то \(f(14-c ; c)=10+\dfrac{9(40-c)}{18}\) принимает целое значение при чётных \(c\), при этом наименьшее значение достигается при \(c=8\) и \(b=6\) и равно 26.

Если \(b+c \leq 13\), то \(f(b ; c)=10+\dfrac{9(40-c)}{4+b+c} \geq 10+\)

\(\dfrac{9(40-9)}{4+13}>26\).

Таким образом, наименьшее значение искомого отношения равно \(26\) для числа \(468\) и суммы его цифр.

Ответ
а) да; б) нет; в) 26.
127

(ЕГЭ, 2021) В последовательности из \(80\) целых чисел каждое число (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних чисел. Первый и последний члены последовательности равны \(0.\)

a) Может ли второй член такой последовательности быть отрицательным\(?\)

б) Может ли второй член такой последовательности быть равным \(20?\)

в) Найдите наименьшее значение второго члена такой последовательности.

Решение

Обозначим члены последовательности через \(a_1, a_2, \ldots, a_{80}\). По условию
\(a_k>\dfrac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2} \Rightarrow 2 a_k>a_{k-1}+a_{k+1} \Rightarrow \)

\(a_k-a_{k-1}>a_{k+1}-a_k \quad(k=2,3, \ldots, 79)\)

Обозначим \(\Delta=a_2-a_1\). Из первых неравенств получим:

\((*) a_2-a_1=\Delta, \)

\(a_3-a_2<\Delta \Rightarrow a_3-a_2 \leq \Delta-1, \)

\(a_4-a_3<\Delta-1 \Rightarrow a_4-a_3 \leq \Delta-2, \)

\(\cdots \)

\(a_{80}-a_{79} \leq \Delta-78 .\)

Складывая неравенства, будем иметь:

\(a_{80}-a_1 \leq 79 \Delta-(1+2+\ldots+78)=\)

\(79 \Delta-\dfrac{78 \cdot 79}{2}=79(\Delta-39) \text {. }\)

Пусть \(a_1=0\).

a) Если \(a_2<0\), то \(\Delta<0\) и из (3) \(a_{80}<0\). Противоречие.

б) Если \(a_2=20, a_{80} \leq-79 \cdot 19<0\). Противоречие.

в) \(a_2=\Delta \Rightarrow a_{80}=0 \leq 79\left(a_2-39\right)\). Отсюда \(a_2 \geq 39\). 

Легко построить пример последовательности, удовлетворяющей при \(a_2=39\) условию задачи (все неравенства (*) должны быть равенствами): \(0,39,77,114, \ldots, 39,0\).
 

Ответ
а) нет; б) нет; в) 39.
128

(ЕГЭ, 2021) Сумма цифр трёхзначного числа \(A\) равна \(S\).
    
а) Может ли произведение \(A \cdot S\) быть равно \(2800?\)

б) Может ли произведение \(A \cdot S\) быть равно \(2491?\)

в) Найдите наибольшее значение произведения \(A \cdot S\), если известно, что оно меньше \(5997.\)

Решение

a) Сумма цифр числа \(280\) равна \(10.\) Таким образом, произведение этого числа и суммы его цифр равно \(2800.\)

б) Заметим, что \(2491=47 \cdot 53\), причём \(47\) и \(53\) - простые числа. Сумма цифр трёхзначного числа не превосходит \(27,\) следовательно, если для некоторого трёхзначного числа \(A\) выполняется равенство \(A \cdot S=2491\), то это число должно делиться и на \(47,\) и на \(53,\) что невозможно, поскольку это число трёхзначное. 
Таким образом, произведение не может быть равно \(2491.\)

в) Заметим, что сумма цифр числа имеет такой же остаток при делении на \(9,\) как и само число. Следовательно, \(A \cdot S\) даёт такой же остаток при делении на \(9,\) как и \(S^2\). Пусть \(S=9 k+r\), где \(0 \leq r \leq 8\). 

Тогда \(S^2=81 k^2+18 k r+r^2=9\left(9 k^2+2 k r\right)+r^2,\)

то есть остаток от деления \(S^2\) на \(9\) совпадает с остатком от деления \(r^2\) на \(9. \) 
Этот остаток может быть равен \(0 ; 1 ; 4\) или \(7,\) поскольку \(r^2\) принимает значения \(0 ; 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ; 64\). 

Таким образом, остаток от деления произведения \(A \cdot S\) на \(9\) может быть равен \(0 ; 1 ; 4\) или \(7.\)

Будем последовательно рассматривать числа, меньшие 5997, для которых остаток от деления на \(9\) равен \(0 ; 1 ; 4\) или \(7.\)

Будем последовательно рассматривать числа, меньшие 5997, для которых остаток от деления на \(9\) равен \(0 ; 1 ; 4\) или \(7.\)

Число \(5995\) даёт остаток \(1\) при делении на \(9.\) Это число раскладывается в произведение простых множителей следующим образом: \(5995=5 \cdot 11 \cdot 109\), а значит, его можно прелставить в виде произведения трёхзначного числа на какое-то другое число следующими способами:

\(5995=55 \cdot 109=11 \cdot 545 .\)

Ни для какого из этих способов первый множитель не равен сумме цифр второго множителя.

Число \(5994\) даёт остаток \(0\) при делении на \(9.\) Это число раскладывается
в произведение простых множителей следующим образом: \(5994=2 \cdot 3^4 \cdot 37\), а значит, его можно представить в виде произведения трёхзначного числа на какое-то другое число следующими способами:

\(5994=54 \cdot 111=37 \cdot 162=27 \cdot 222=\)

\(18 \cdot 333=9 \cdot 666=6 \cdot 999 \text {. }\)

Ни для какого из этих способов первый множитель не равен сумме цифр второго множителя.

Число \(5992\) даёт остаток \(7\) при делении на \(9.\) Это число раскладывается
в произведение простых множителей следующим образом: \(5992=2^3 \cdot 7 \cdot 107\),
а значит, его можно представить в виде произведения трёхзначного числа на какое-то другое число следующими способами:

\(5992=56 \cdot 107=28 \cdot 214=14 \cdot 428=\)

\(8 \cdot 749=7 \cdot 856 .\)

Сумма цифр трёхзначного числа \(A=428\) равна \(14.\) Следовательно, для этого числа \(A \cdot S=5992\).

Таким образом, наибольшее значение произведения \(A \cdot S\), меньшее \(5997,\) равно \(5992.\)

Ответ
а) да; б) нет; в) 5992.