a) Произведение цифр числа 175 равно 35, а частное чисел 175 и 35 равно 5.

б) Обозначим первую цифру трёхзначного числа через \(a\), вторую - через \(b\), третью - через \(c\). Тогда число равно \(100 a+10 b+c\), а произведение его цифр \(a b c\), откуда получаем: \(100 a+10 b+c=a b c ; \)

\(a(100-b c)+10 b+c=0\).
Левая часть полученного равенства положительна, поскольку \(b c \leq 81\).

Таким образом, частное не может быть равным 1.

в) Частное числа и произведения его цифр равно \(f(a ; b ; c)=\dfrac{100 a+10 b+c}{a b c}=\)

\(\dfrac{100}{b c}+\dfrac{10}{a c}+\dfrac{1}{a b}\).
При положительных значениях \(a, b\) и \(c\) функция \(f(a ; b ; c)\) убывает по каждому из аргументов. Таким образом, наименьшее значение частного будет достигаться при \(a=b=c=9\). Это значение равно \(\dfrac{37}{27}\)

a) Рассмотрим четыре последовательных натуральных числа: 59,60,61 и 62 . Если разделить каждое из них на его первую цифру, то получатся числа 11,8 , \(10,10 \dfrac{1}{6}\) и \(10 \dfrac{1}{3}\). Сумма этих чисел равна 42,3 .

б) В смешанном числе \(229 \dfrac{41}{72}\) знаменатель делится на 8 и на 9. Такое возможно, только если среди чисел есть числа \(x=9 \cdot 10^n, x-1\), а также одна из пар чисел \(x-3\) и \(x-2, x-2\) и \(x+1\) или \(x+1\) и \(x+2\). В первом случае

\(S=\dfrac{3 x-6}{8}+\dfrac{x}{9}=\dfrac{3 x-6}{8}+10^n,\)

и знаменатель получившейся несократимой дроби не делится на 9 .
Во втором случае

\(S=\dfrac{2 x-3}{8}+\dfrac{2 x+1}{9}=\dfrac{2 x-3}{8}+2 \cdot 10^n+\dfrac{1}{9},\)

откуда получаем, что \(\dfrac{2 x-3}{8}+2 \cdot 10^n=229 \dfrac{11}{24}\), а это невозможно.
В третьем случае

\(S=\dfrac{x-1}{8}+\dfrac{3 x+3}{9}=\dfrac{x-1}{8}+3 \cdot 10^n+\dfrac{1}{3} \)

и знаменатель получившейся несократимой дроби не делится на 9.

Следовательно, \(S\) не может быть равной \(229 \dfrac{41}{72}\).

в) Пусть исходные числа равны \(x, x+1, x+2\) и \(x+3\). Покажем, что если \(800 \leq x<900\), то \(S\) не может быть целым.
Если \(800 \leq x \leq 896\), то число

\(S=\dfrac{x+(x+1)+(x+2)+(x+3)}{8}=\)
\(\dfrac{4 x+6}{8}=\dfrac{2 x+3}{4}\)

не является целым.

Если \(x=897\), то \(S=\dfrac{897+898+899}{8}+100=436,75\).

Если \(x=898\), то \(S=\dfrac{898+899}{8}+100+100 \dfrac{1}{9}=424 \dfrac{53}{72}\).

Если \(x=899\), то \(S=\dfrac{899}{8}+100+100 \dfrac{1}{9}+100 \dfrac{2}{9}=412 \dfrac{17}{24}\).

При \(900 \leq x \leq 996\) получаем \(S=\dfrac{1}{9}(x+(x+1)+(x+2)+(x+3))=\)

\(\dfrac{4 x+6}{9}\). 

Это выражение принимает наибольшее целое значение при \(x=993\), и это значение равно 442.
 

a) Пусть 10 раз из первых двух коробок переложили камни в третью. Тогда в первой коробке оказалось 87 камней, во второй - 94 камня, а в третьей 20 камней. Если после этого 5 раз переложить камни из второй и третьей коробок в первую, то в первой коробке окажется 97 камней, во второй - 89, а в третьей - 15.

б) Если в третьей коробке оказался 201 камень, то в первой и во второй коробках не осталось камней.
Пусть в какой-то момент в коробках оказалось \(a, b\) и \(c\) камней соответственно. Тогда после одного хода в коробках могло оказаться либо \(a-1, b-1\) и \(c+2\) камня, либо \(a-1, b+2\) и \(c-1\) камень, либо \(a+2, b-1\) и \(c-1\) камень соответственно. Заметим, что разность между числами камней во второй и в первой коробках либо не изменилась, либо изменилась на 3.
Сначала разность чисел камней во второй и в первой коробках равнялась 7.
Следовательно, ни в какой момент она не могла стать равной 0. Значит, в этих двух коробках всегда разное число камней. Следовательно, в третьей коробке не мог оказаться 201 камень.

в) В любой момент разность чисел камней во второй и в первой коробках равна \(3 k+7\), где \(k\) - целое число.

Следовательно, если в первой коробке 1 камень, то во второй коробке \(3 k+8\) камней. Значит, во второй коробке оказалось не меньше 2 камней, а в третьей коробке не больше 198 камней.

Покажем, как в третьей коробке могло оказаться 198 камней.

Пусть 97 раз из первых двух коробок переложили камни в третью. Тогда в первой коробке оказалось 0 камней, во второй - 7 камней, а в третьей - 194 камня.

Если после этого 2 раза переложить камни из второй и третьей коробок в первую, то в первой коробке окажется 4 камня, во второй - 5, а в третьей - 192.

Если после этого 3 раза переложить камни из первых двух коробок в третью, то в первой коробке окажется 1 камень, во второй - 2 камня, а в третьей 198 камней.
 

a) Сумма цифр числа 910 равна 10. Следовательно, в результате операции из этого числа получится \(\dfrac{910-10}{3}=300\).

б) Пусть число равно \(100 a+10 b+c\), где \(a, b\) и \(c\) - цифры и \(a \neq 0\). Тогда сумма цифр такого числа равна \(a+b+c\), а в результате операции из него получится число \(\dfrac{(100 a+10 b+c)-(a+b+c)}{3}=33 a+3 b\). Получившееся число делится на 3. Следовательно, число 151 не могло получиться.

в) Заметим, что получившееся число не зависит от последней цифры исходного числа, поэтому достаточно найти количество различных чисел, получающихся из чисел, делящихся на 10.

Рассмотрим числа \(100 a+10 b\) и \(100 x+10 y\), где \(a, b, x\) и \(y\) - цифры и \(a \neq 0, x \neq 0\). В результате операции из них получатся числа \(33 a+3 b\) и \(33 x+3 y\) соответственно. Разность этих чисел равна \(33(a-x)+3(b-y)\).

Если \(a \neq x\), то эта разность не может быть равной нулю, поскольку \(|3(b-y)| \leq 27\).

Если \(a=x\), то разность может быть равной нулю только при \(b=y\), то есть если исходные числа совпадают. Значит, в результате операции из различных трёхзначных чисел, делящихся на 10 , получаются различные числа.

Среди чисел от 100 до 600 ровно 51 число делится на 10. Следовательно, в результате операции из чисел от 100 до 600 может получиться 51 различное число.

a) Если на доске написаны два числа, идущие подряд, то любое число делится на их разность, равную 1. Если на доске написаны числа 18 и 20 , то каждое из этих чисел делится на их разность, равную 2. Значит, никакие два из чисел 18,19 и 20 не могли быть написаны на доске одновременно.

б) Если на доске написано 25 чисел, то хотя бы два из них дают одинаковый остаток при делении на 17. Значит, разность этих чисел делится на 17. Следовательно, \(N\) не может быть равным 25 .

в) Предположим, что \(N \geq 34\). Если на доске есть число \(a \leq 33\), то хотя бы два из написанных на доске чисел дают одинаковый остаток при делении на \(a\), но тогда их разность делится на \(a\). Значит, каждое из чисел, написанных на доске, больше 33. Среди любых \(N \geq 34\) различных чисел от 34 до 99 найдётся два, идущих подряд. Разность этих чисел равна 1 , и на неё делится любое число, написанное на доске. Получаем противоречие. Следовательно, \(N \leq 33\).
Покажем, что \(N\) может быть равным 33. 

Пусть на доске написаны нечётные числа от 35 до 99 :
\begin{equation*}
35,37,39, \ldots, 95,97,99 \text {. }
\end{equation*}
Разность любых двух из этих чисел чётная, а значит, ни одно из написанных на доске чисел не делится на неё. С другой стороны, каждая из таких разностей не превосходит 64. Следовательно, любой нечётный делитель такой разности не превосходит 31. Таким образом, построенный пример удовлетворяет условию задачи.

a) Если на доске написаны два числа, идущие подряд, то любое число делится на их разность, равную 1. Если на доске написаны числа 4 и 6 , то каждое из этих чисел делится на их разность, равную 2. Значит, никакие два из чисел 4, 5 и 6 не могли быть написаны на доске одновременно.

б) Если на доске написано 7 чисел, то хотя бы два из них дают одинаковый остаток при делении на 5. Значит, разность этих чисел делится на 5 . Следовательно, \(N\) не может быть равным 7.

в) Предположим, что \(N \geq 10\). Если на доске есть число \(a \leq 9\), то хотя бы два из написанных на доске чисел дают одинаковый остаток при делении на \(a\), но тогда их разность делится на \(a\). Значит, каждое из чисел, написанных на доске, больше 9. Среди любых \(N \geq 10\) различных чисел от 10 до 27 найдётся два, идущих подряд. Разность этих чисел равна 1 , и на неё делится любое число, написанное на доске. Получаем противоречие. Следовательно, \(N \leq 9\).
Покажем, что \(N\) может быть равным 9. 

Пусть на доске написаны числа:
\begin{equation*}
11,13,15,17,19,21,23,25,27 .
\end{equation*}
Разность любых двух из этих чисел чётная, а значит, ни одно из написанных на доске чисел не делится на неё. С другой стороны, каждая из таких разностей не превосходит 16. Следовательно, любой нечётный делитель такой разности не превосходит 7.

Таким образом, построенный пример удовлетворяет условию задачи.