19. Задачи олимпиадного уровня
☀️ 🌙

19. Задачи олимпиадного уровня

Чтобы получить дополнительный функционал нужно войти.


назад
49

(ЕГЭ, 2023) Трёхзначное натуральное число, в десятичной записи которого нет нулей, разделили на произведение его цифр.
    
a) Может ли получившееся частное быть равным 5?

б) Может ли получившееся частное быть равным 1?

в) Какое наименьшее значение может принимать это частное?
 

86

(ЕГЭ, 2022) Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел поделили на его первую цифру. Сумма получившихся чисел равна \(S\).
    
a) Может ли \(S\) быть равной \(42,3\)?

б) Может ли \(S\) быть равной \(229 \dfrac{41}{72}\)?

в) Найдите наибольшее целое значение \(S\), если каждое из исходных чисел было от 800 до 999 включительно.

87

(ЕГЭ, 2022) Есть три коробки: в первой коробке \(97\) камней, во второй - \(104,\) а в третьей коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
    
a) Могло ли в первой коробке оказаться \(97\) камней, во второй - \(89\), а в третьей - \(15?\)

б) Мог ли в третьей коробке оказаться \(201\) камень\(?\)

в) В первой коробке оказался \(1\) камень. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке\(?\)

89

(ЕГЭ, 2022) С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3.
    
a) Могло ли в результате такой операции получиться число 300?

б) Могло ли в результате такой операции получиться число 151?

в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 100 до 600 включительно?

90

(ЕГЭ, 2022) На доске написано \(N\) различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 99. Для любых двух написанных на доске чисел \(a\) и \(b\) таких, что \(a<b\), ни одно из написанных чисел не делится на \(b-a\) и ни одно из написанных чисел не является делителем числа \(b-a\).
    
a) Могли ли на доске быть написаны какие-то два числа из чисел 18,19 и 20 ?

б) Среди написанных на доске чисел есть 17. Может ли \(N\) быть равным 25 ?

в) Найдите наибольшее значение \(N\).

91

(ЕГЭ, 2022) На доске написано \(N\) различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 27. Для любых двух написанных на доске чисел \(a\) и \(b\) таких, что \(a<b\), ни одно из написанных чисел не делится на \(b-a\) и ни одно из написанных чисел не является делителем числа \(b-a\).
    
a) Могли ли на доске быть написаны какие-то два числа из чисел 4,5 и 6?

б) Среди написанных на доске чисел есть 5 . Может ли \(N\) быть равным 7?

в) Найдите наибольшее значение \(N\).