a) Например, последовательность
\begin{equation*}
1 ; 12 ; 17 ; 20
\end{equation*}

удовлетворяет условию задачи, а сумма её членов равна 50 .

б) Например, последовательность
\begin{equation*}
1 ; 12 ; 20 ; 20 ; 12 ; 1
\end{equation*}

удовлетворяет условию задачи.

в) Для \(2 \leq k \leq 9\) выполнено неравенство
\begin{equation*}
\frac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2}<a_k ; a_{k-1}+a_{k+1}<2 a_k ; a_{k+1}-a_k<a_k-a_{k-1} .
\end{equation*}

То есть последовательность разностей соседних членов последовательности убывает.
Пусть \(d_k=a_{k+1}-a_k\). Тогда
\begin{equation*}
\begin{gathered}
d_k \leq d_{k-1}-1 \leq d_{k-2}-2 \leq \ldots \leq d_1-k+1 ; \\
a_1=a_k-d_{k-1}-\ldots-d_1 \leq a_k-\left(d_k+1\right)-\ldots-\left(d_k+k-1\right)=a_k-(k-1) d_k-\frac{k(k-1)}{2} ; \\
a_{10}=a_k+d_k+\ldots+d_9 \leq a_k+d_k+\left(d_k-1\right)+\ldots+\left(d_k-9+k\right)= \\
=a_k+(10-k) d_k-\frac{(9-k)(10-k)}{2} .
\end{gathered}
\end{equation*}

Заметим, что \(a_1 \geq 1\) и \(a_{10} \geq 1\), откуда
\begin{equation*}
a_k-(k-1) d_k-\frac{k(k-1)}{2} \geq 1, a_k+(10-k) d_k-\frac{(9-k)(10-k)}{2} \geq 1 .
\end{equation*}

Умножив первое неравенство на \(10-k\), а второе на \(k-1\) и сложив их, получаем:
\begin{equation*}
9 a_k-\frac{9(k-1)(10-k)}{2} \geq 9 ; a_k \geq \frac{(k-1)(10-k)}{2}+1 .
\end{equation*}

Таким образом, \(a_1 \geq 1, a_2 \geq 5, a_3 \geq 8, a_4 \geq 10, a_5 \geq 11, a_6 \geq 11, a_7 \geq 10\). \(a_8 \geq 8, a_9 \geq 5, a_{10} \geq 1\), а их сумма не меньше 70 .
Последовательность \(1 ; 5 ; 8 ; 10 ; 11 ; 11 ; 10 ; 8 ; 5 ; 1\) удовлетворяет условию задачи, а сумма её членов равна 70.

a) Если из 6 партий шахматист выиграл одну, то показатель «победы» равен 17.

б) Если в первых 200 партиях были выиграны 100 , сыграны вничью 5 , а проиграны 95 , то показатель «побед» равен 50 , показатель «ничьих» равен 3, а показатель «поражений» равен 47. Если следующая партия была выиграна, то показатель «побед» остаётся равным 50, показатель «ничьих» становится равным 2, а показатель «поражений» оказывается равным 48.

в) Если партий было 49 или меньше, то суммарный процент побед и ничьих меньше 98. При округлении числа происходит увеличение не более чем на 0,5 , поэтому сумма показателей «побед» и «ничьих» меньше 99. Значит, показатель «поражений» больше 1.

Если партий было ровно 50 , то проценты побед и ничьих целые, округления не происходит. Значит, показатель «поражений» больше 1.

Пусть была сыграна 51 партия, первая из которых была проиграна, а среди остальных 50 было 12 побед и 38 ничьих. Тогда показатель «побед» равен 24 , показатель «ничьих» равен 75, а показатель «поражений» равен 1.

a) Например, частное числа 339 и произведения его цифр равно \(\frac{113}{27}\).

б) Пусть это частное равно \(\frac{125}{27}\). Тогда число делится на 25 , а его две последние цифры равны 2 и 5 или 7 и 5. Но произведение цифр числа должно делиться на 27. Ни 2 , ни 5 , ни 7 не делятся на 3 , а первая цифра не больше 9. Значит, частное не может равняться \(\frac{125}{27}\).

в) Если число и произведение его цифр имеют общий делитель, больший 1 , то частное числа и произведения его цифр не превосходит \(\frac{999}{54}<\frac{500}{27}\). Если произведение цифр числа равняется 27, то число состоит из единиц, троек и девяток. Наибольшее такое число с произведением цифр 27 равняется 931. Частное этого числа и произведения его цифр равняется \(\frac{931}{27}\).

a) Среднее арифметическое всех чисел равно 4. Разобьём исходные числа на две группы: в первой группе все « 5 », во второй - все « 3 » и « 4 ». Тогда
\begin{equation*}
A=5 ; B=\frac{30+40}{20}=3,5 ; \frac{A+B}{2}=4,25>4 .
\end{equation*}

б) Пусть числа разбиты на две групны по 15 чисел в каждой; сумма чисел в первой группе равна \(S_1\), а во второй группе \(-S_2\). Тогда
\begin{equation*}
A=\frac{S_1}{15}, B=\frac{S_2}{15}, \frac{A+B}{2}=\frac{\frac{S_1}{15}+\frac{S_2}{15}}{2}=\frac{S_1+S_2}{30} .
\end{equation*}

что равно среднему арифметическому всех чисел.

в) Если в каждой из двух групп количество «3» равно количеству «5», то
\begin{equation*}
A=B=4 \text { и } \frac{A+B}{2}=4 \text {. }
\end{equation*}

В противном случае в одной из групп количество « 3 » больше количества « 5 ». Значит, среднее арифметическое чисел в этой группе меньше 4. Можно считать, что это первая группа. Среди дробей, меньших 4, знаменатель которых не превосходит 29 , наибольшая дробь - это \(3 \frac{28}{29}\), то есть \(A\) не превосходит \(3 \frac{28}{29}\). Очевидно, что \(B\) не может быть больше 5. Значит,
\begin{equation*}
\frac{A+B}{2} \leq \frac{3 \frac{28}{29}+5}{7}=4 \frac{14}{29} \text {. }
\end{equation*}

Если в одной группе одна «5», а в другой все остальные числа, то
\begin{equation*}
A=5 ; B=3 \frac{28}{29} ; \frac{A+B}{2}=4 \frac{14}{29} .
\end{equation*}

a) Например, последовательность
\begin{equation*}
5 ; 0 ; 2 ; 1 ; 1 ; 1
\end{equation*}

удовлетворяет условию задачи.

б) Если \(M_1=1, M_3=3\), получаем:
\begin{equation*}
a_1+a_2+a_4+a_5+a_6=15, a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=5 \text {, }
\end{equation*}

откуда \(a_1-a_3=10\), что невозможно. Значит, не существует такой последовательности, для которой \(M_3=3\).

в) Поскольку \(M_1=1\), получаем:
\begin{equation*}
a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=5,
\end{equation*}

а так как \(a_1-a_3 \leq 9\), получаем:
\begin{equation*}
a_1+a_2+a_4+a_5+a_6 \leq 14,
\end{equation*}

то есть \(M_3 \leq 2,8\).
В последовательности \(9 ; 4 ; 0 ; 1 ; 0 ; 0\) имеем:
\begin{equation*}
M_1=1, M_2=2, M_3=2,8 \text {. }
\end{equation*}