a) Из дроби \(\dfrac{1}{3}\) за один ход получается дробь \(\dfrac{4}{5}\), за два хода получается дробь \(\dfrac{9}{13}\), а за три хода получается дробь \(\dfrac{22}{31}\).

б) Из дроби \(\dfrac{a}{b}\) за один ход получается несократимая дробь \(\dfrac{a+b}{2 a+b}\), а за два хода - несократимая дробь \(\dfrac{3 a+2 b}{4 a+3 b}\). Если \(\dfrac{3 a+2 b}{4 a+3 b}=\dfrac{7}{12}\), то получаем систему уравнений:
\begin{cases}
{ 3 a + 2 b = 7 , } \\
{ 4 a + 3 b = 1 2 ; }
\end{cases}

\begin{cases} 
{ 3 a + 2 b = 7 , } \\
{ a + b = 5 ; }
\end{cases}

\begin{cases} 
{ a = - 3 , } \\
{ a + b = 5 ; }
\end{cases}

\begin{cases}
a=-3, \\
b=8 .
\end{cases}

По условию числитель и знаменатель дроби - натуральные числа. Следовательно, невозможно получить дробь \(\dfrac{7}{12}\) из некоторой правильной несократимой дроби за два хода.

в) Заметим, что несократимую дробь \(\dfrac{c}{d}\) за один ход можно получить только из дроби \(\dfrac{d-c}{2 c-d}\), а за два хода - только из дроби \(\dfrac{3 c-2 d}{3 d-4 c}\). Если эта дробь правильная и несократимая, то её числитель должен быть натуральным числом, а знаменатель должен быть натуральным числом, большим числителя. 

Таким образом, дробь \(\dfrac{c}{d}\) можно получить из правильной несократимой дроби за два хода тогда и только тогда, когда натуральные числа \(c\) и \(d\) удовлетворяют системе неравенств:
\begin{cases}
{ 3 c - 2 d > 0 , } \\
{ 3 d - 4 c > 3 c - 2 d ; }
\end{cases}

\begin{cases}
3 c>2 d, \\
5 d>7 c ;
\end{cases}

Поскольку \(\dfrac{2}{3}<0,7<\dfrac{5}{7}\), наименьшая несократимая дробь, большая 0,7 , которую нельзя получить за два хода, равна \(\dfrac{5}{7}\).

a) Если \(A=109, B=90\) и \(C=19\), то \(A<150\) и равенство \(A=B+C\) верно.

б) Заметим, что если верно равенство \(A=B+C\), то одна из цифр, написанных на карточках, - это 1, поскольку сумма двух двузначных чисел не превосходит 198.
Если числа \(B\) и \(C\) делятся на 3, то число \(A\) тоже делится на 3. Значит, на карточке, которую не взял Петя, написана цифра 0, 3, 6 или 9.
Таким образом, на одной из карточек, выбранной Петей, написана цифра 1.
Следовательно, число \(B\) равно \(12,15,18,21,51\) или 81 . Аналогично число \(C\) тоже равно одному из этих чисел. 

Если первая цифра одного из чисел \(B\) и \(C\) равна 1, то \(B+C \leq 18+81=99\). Следовательно, вторая цифра каждого из чисел \(B\) и \(C\) равна 1. Тогда последняя цифра числа \(A\) равна 2. Значит, на карточках написаны цифры 1,2 и одна из цифр \(0,3,6\) или 9. 

Таким образом, \(B=C=21\), а в этом случае сумма \(B+C\) - двузначное число. Значит, если числа \(B\) и \(C\) делятся на 3, то равенство \(A=B+C\) не может быть верным.

в) Если \(A=189, B=98\) и \(C=91\), то равенство \(A=B+C\) верно.

Предположим, что \(A>189\) и равенство \(A=B+C\) верно. Тогда на карточках написаны цифры 1,9 и ещё одна цифра \(u\)
Если первая цифра одного из чисел \(B\) и \(C\) не равна 9, то \(B+C \leq 89+99=188\). Следовательно, каждое из чисел \(B\) и \(C\) равно 91 или \(90+u\). Сумма двух таких чисел равна 182, \(181+u\) или \(180+2 u\). С другой стороны, \(A=190+u\). Значит, равенство \(A=B+C\) не может быть верным.

Таким образом, число \(A\) не может быть больше 189. Следовательно, наибольшее число \(A\), для которого может быть верным равенство \(A=B+C\), это число 189.

a) Пусть \(a\) и \(b\) - натуральные корни уравнения \(x^2-p x+q=0\), причём \(a<b\). Тогда \(p=a+b \text { и } q=a b\).

Поскольку \(q=11\), получаем: \(a=1, b=11\), тогда \(p=12\).
б) Если \(p>100\) и \(q<20\), то \(a+b>100\) и \(a b<20\), откуда получаем:
\(a b-a-b<-80 ;(a-1)(b-1)-1<-80 ;\)

\((a-1)(b-1)<-79 .\)
Это невозможно, поскольку \(a\) и \(b\) натуральные, а следовательно,
\begin{equation*}
(a-1)(b-1) \geq 0 \text {. }
\end{equation*}

в) Если \(p<20\) и \(q<20\), то \(p \leq 19\) и \(q \leq 19\). Следовательно, \(p+q \leq 38\).

Заметим, что равенство \(p+q=38\) может достигаться только при \(p=q=19\), но в таком случае уравнение \(x^2-19 x+19=0\) не имеет целых корней.
Уравнение \(x^2-19 x+18=0\) имеет два натуральных корня ( 1 и 18), и для него \(p+q=37\).
Значит, наибольшее значение \((p+q)\) равно 37.

a) Приведём пример последовательности ходов, при помощи которых из числа 128 можно получить число 29: \(128 ; 95 ; 53 ; 29\).

б) Заметим, что остаток от деления числа на 3 не меняется при ходе, поскольку утроенная сумма цифр любого числа делится на 3. Остаток от деления числа 128 на 3 равен 2 , а остаток от деления числа 31 на 3 равен 1. Значит, из числа 128 невозможно получить число 31 за несколько ходов.

в) Остаток от деления на 3 любого числа, которое можно получить из числа 128 за несколько ходов, равен 2. Таким образом, из числа 128 невозможно получить число, меньшее 2.
Приведём пример последовательности ходов, при помощи которых из числа 128 можно получить число 2:
\begin{equation*}
128 ; 95 ; 53 ; 29 ; 62 ; 38 ; 5 ; 20 ; 26 ; 2 .
\end{equation*}
 

a) Из пары \((50 ; 9)\) за один ход получается пара \((59 ; 41)\), за два хода получается пара \((100 ; 18)\), за три хода получается пара \((118 ; 82)\), а за четыре хода получается пара \((200 ; 36)\).

б) Заметим, что за один ход из пары \((a ; b)\) получается пара \((a+b ; a-b)\), а за два хода получается пара \((2 a ; 2 b)\). Следовательно, из пары \((50 ; 9)\) можно получить только пары \(\left(2^k \cdot 50 ; 2^k \cdot 9\right)\) и \(\left(2^k \cdot 59 ; 2^k \cdot 41\right)\), где \(k-\) неотрицательное целое число. Число 408 не равно \(2^k \cdot 50\) и \(2^k \cdot 59\), а значит, пару \((408 ; 370)\) невозможно получить за несколько ходов из пары \((50 ; 9)\).

в) Заметим, что пару \((c ; d)\) за один ход можно получить только из пары \(\left(\dfrac{c+d}{2} ; \dfrac{c-d}{2}\right)\) при условии, что числа \(c\) и \(d\) одной чётности.
Таким образом, пара \((408 ; 370)\) получается из пары \((389 ; 19)\), которая получается из пары \((204 ; 185)\). Пару (204;185) невозможно получить за один ход ни из какой пары, поскольку числа 204 и 185 имеют разную чётность. Следовательно, наименьшее число а в паре \((a ; b)\), из которой за несколько ходов можно получить пару \((408 ; 370)\), равно 204.

a) Заметим, что за один ход сумма чисел в паре увеличивается на 1. Следовательно, после 20 ходов сумма чисел в паре будет равна 38, а значит, в такой паре не может быть числа 50.

б) Сначала сумма чисел в паре равна 18. За один ход сумма чисел в паре увеличивается на 1. Значит, сумма чисел в паре станет равна 600 после 582 ходов.

в) Если было сделано больше 82 ходов, то сумма чисел в получившейся паре больше 100, а значит, хотя бы одно из них больше 50. Если было сделано 82 хода, то должна была получиться пара (50;50), но такая пара могла получиться только из пары \((51 ; 48)\) или \((48 ; 51)\), в которой одно из чисел больше 50. Значит, могло быть сделано не больше 81 хода.

Покажем, что можно сделать 81 ход так, чтобы после каждого хода оба числа в паре не превосходили 50. За один ход из пары \((a ; b)\) можно получить пару \((a+2 ; b-1)\), а за два хода - пару \((a+1 ; b+1)\). Если 39 раз повторить эту последовательность из двух ходов, то из пары \((7 ; 11)\) получится пара \((46 ; 50)\), причём после каждого хода оба числа в паре не превосходят 50. Из пары \((46 ; 50)\) за один ход можно получить пару \((48 ; 49),\) за два хода можно получить пару \((50 ; 48)\), а за три хода - пару \((49 ; 50)\). 

Таким образом, можно сделать 81 ход так, чтобы после каждого хода оба числа в паре не превосходили 50.