13. Тригонометрические, логарифмические, показательные и смешанные уравнения

389

(ЕГЭ,2017) a) Решите уравнение
\begin{equation*}
\log _2\left(x^2-14 x\right)=5 .
\end{equation*}

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\log _3 0,1 ; 5 \sqrt{10}\right]\)

Ответ

а) -2 и 16 ; б) -2

390

(ЕГЭ,2017) a) Решите уравнение
\begin{equation*}
2 x \cos x-8 \cos x+x-4=0 .
\end{equation*}

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac{\pi}{2} ; \pi\right]\)

Ответ

a) \(4 ;-\frac{2 \pi}{3}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z} ; \frac{2 \pi}{3}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z}\); б) \(\frac{2 \pi}{3}\)

391

(ЕГЭ,2016) a) Решите уравнение
\begin{equation*}
8^x-7 \cdot 4^x-2^{x+4}+112=0 .
\end{equation*}

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\log _2 5 ; \log _2 11\right]\)

Решение

a) Запишем исходное уравнение в виде:
\begin{equation*}
2^{3 x}-7 \cdot 2^{2 x}-16 \cdot 2^x+112=0 ;\left(4^x-16\right)\left(2^x-7\right)=0 \text {. }
\end{equation*}

Значит, \(4^x=16\), откуда \(x=2\), или \(2^x=7\), откуда \(x=\log _2 7\).

б) Заметим, что \(2<\log _2 5<\log _2 7<\log _2 11\).

Значит, указанному отрезку принадлежит корень \(\log _2 7\).

Ответ

а) \(2 ; \log _2 7 ;\) б) \(\log _2 7\)

392

(ЕГЭ,2016) a) Решите уравнение
\begin{equation*}
2 \log _3^2(2 \cos x)-5 \log _3(2 \cos x)+2=0 .
\end{equation*}

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\pi ; \frac{5 \pi}{2}\right]\)

Решение

a) Пусть \(t=\log _3(2 \cos x)\), тогда исходное уравнение запишется в виде \(2 t^2-5 t+2=0\), откуда \(t=2\) или \(t=\frac{1}{2}\).
При \(t=2\) получим: \(\log _3(2 \cos x)=2\), значит, \(\cos x=\frac{9}{2}\), что невозможно.
При \(t=\frac{1}{2}\) получим: \(\log _3(2 \cos x)=\frac{1}{2}\), значит, \(\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\), откуда \(x=-\frac{\pi}{6}+2 \pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\), или \(x=\frac{\pi}{6}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z}\).

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[\pi ; \frac{5 \pi}{2}\right]\).

Получим числа: \(\frac{11 \pi}{6} ; \frac{13 \pi}{6}\)

Ответ

a) \(-\frac{\pi}{6}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z} ; \frac{\pi}{6}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z}\); б) \(\frac{11 \pi}{6} ; \frac{13 \pi}{6}\)

393

(ЕГЭ,2016) a) Решите уравнение
\begin{equation*}
2 \sin ^2 x+4=3 \sqrt{3} \sin \left(\frac{3 \pi}{2}+x\right) .
\end{equation*}

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac{5 \pi}{2} ;-\pi\right]\)

Решение

a) Запишем исходное уравнение в виде:
\begin{equation*}
2-2 \cos ^2 x+3 \sqrt{3} \cos x+4=0 ;(2 \cos x+\sqrt{3})(\cos x-2 \sqrt{3})=0 \text {. }
\end{equation*}

Значит, \(\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\), откуда \(x=\frac{5 \pi}{6}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z}\), или \(x=-\frac{5 \pi}{6}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z}\).
Уравнение \(\cos x=2 \sqrt{3}\) корней не имеет.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac{5 \pi}{2} ;-\pi\right]\).

Получим число \(-\frac{7 \pi}{6}\)

Ответ

а) \(\frac{5 \pi}{6}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z} ;-\frac{5 \pi}{6}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z}\); б) \(-\frac{7 \pi}{6}\)

394

(ЕГЭ,2016) a) Решите уравнение
\begin{equation*}
8 \sin ^2 x+2 \sqrt{3} \cos \left(\frac{3 \pi}{2}-x\right)=9
\end{equation*}

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac{5 \pi}{2} ;-\pi\right]\)

Решение

a) Запишем исходное уравнение в виде:
\begin{equation*}
8 \sin ^2 x-2 \sqrt{3} \sin x-9=0 ;(2 \sin x+\sqrt{3})(4 \sin x-3 \sqrt{3})=0 \text {. }
\end{equation*}

Значит, \(\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\), откуда \(x=-\frac{\pi}{3}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z}\), или \(x=-\frac{2 \pi}{3}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z}\).
Уравнение \(\sin x=\frac{3 \sqrt{3}}{4}\) корней не имеет.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac{5 \pi}{2} ;-\pi\right]\).

Получим число \(-\frac{7 \pi}{3}\)

Ответ

a) \(-\frac{\pi}{3}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z} ;-\frac{2 \pi}{3}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z}\); б) \(-\frac{7 \pi}{3}\)