13. Тригонометрические, логарифмические, показательные и смешанные уравнения

383

(ЕГЭ,2017) a) Решите уравнение
\begin{equation*}
\sin ^2(x+\pi)-\cos \left(-\frac{3 \pi}{2}-x\right)=0 .
\end{equation*}

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac{7 \pi}{2} ;-2 \pi\right]\).

Ответ

а) \(\pi k, k \in \mathbb{Z} ; \frac{\pi}{2}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z}\); б) \(-\frac{7 \pi}{2} ;-3 \pi ;-2 \pi\)

384

(ЕГЭ,2017) a) Решите уравнение
\begin{equation*}
2 \cdot 16^{\cos x}-9 \cdot 4^{\cos x}+4=0 \text {. }
\end{equation*}

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежашие отрезку \(\left[-3 \pi ;-\frac{3 \pi}{2}\right]\).

Ответ

а) \(2 \pi k, k \in \mathbb{Z} ; \frac{2 \pi}{3}+2 \pi l, l \in \mathbb{Z}\); \(-\frac{2 \pi}{3}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z}\); б) \(-\frac{8 \pi}{3} ;-2 \pi\)

385

(ЕГЭ,2017) a) Решите уравнение
\begin{equation*}
3 \cdot 81^{\sin x}-28 \cdot 9^{\sin x}+9=0 \text {. }
\end{equation*}

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-4 \pi ;-\frac{5 \pi}{2}\right]\).

a) \(\frac{\pi}{2}+2 \pi k, k \in \mathbb{Z} ;-\frac{\pi}{6}+2 \pi l, l \in \mathbb{Z}\); \(-\frac{5 \pi}{6}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z}\); б) \(-\frac{7 \pi}{2} ;-\frac{17 \pi}{6}\)

a) \(\frac{\pi}{2}+\pi k, k \in \mathbb{Z}\); \(\frac{ \pi}{4}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z}\); б) \(-\frac{5 \pi}{2}; -\frac{7 \pi}{2} ;-\frac{15 \pi}{4}\)

a) \(\frac{\pi}{2}+2 \pi k, k \in \mathbb{Z} ;-\frac{\pi}{3}+2 \pi l, l \in \mathbb{Z}\); \(-\frac{2 \pi}{3}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z}\); б) \(-\frac{7 \pi}{2} ;-\frac{8 \pi}{3}\)

a) \(\frac{\pi}{2}+ \pi k, k \in \mathbb{Z} ;\frac{3\pi}{4}+2 \pi l, l \in \mathbb{Z}\); \(-\frac{3 \pi}{4}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z}\); б) \(-\frac{5 \pi}{2};-\frac{13 \pi}{4}; -\frac{7 \pi}{2} ;\)

Ответ

a) \(\frac{\pi}{2}+2 \pi k, k \in \mathbb{Z} ;-\frac{\pi}{6}+2 \pi l, l \in \mathbb{Z}\); \(-\frac{5 \pi}{6}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z}\); б) \(-\frac{7 \pi}{2} ;-\frac{17 \pi}{6}\)

386

(ЕГЭ,2017) a) Решите уравнение
\begin{equation*}
25^{\sqrt{3} \cos \left(x+\frac{3 \pi}{2}\right)}=\left(\frac{1}{5}\right)^{2 \cos (x+\pi)} .
\end{equation*}

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[2 \pi ; \frac{7 \pi}{2}\right]\)

Ответ

а) \(\frac{\pi}{6}+\pi n, n \in \mathbb{Z}\); б) \(\frac{13 \pi}{6} ; \frac{19 \pi}{6}\)

387

(ЕГЭ,2017) a) Решите уравнение
\begin{equation*}
6 \log _8^2(\cos x)-5 \log _8(\cos x)-1=0 .
\end{equation*}

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\frac{5 \pi}{2} ; 4 \pi\right]\)

Ответ

а) \(\frac{\pi}{4}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z} ;-\frac{\pi}{4}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z}\); б) \(\frac{15 \pi}{4}\)

388

(ЕГЭ,2017) a) Решите уравнение
\begin{equation*}
\log _4\left(2^{2 x}-\sqrt{3} \cos x-6 \sin ^2 x\right)=x .
\end{equation*}

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\frac{5 \pi}{2} ; 4 \pi\right]\)

Ответ

а) \(\frac{5 \pi}{6}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z} ;-\frac{5 \pi}{6}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z}\); б) \(\frac{17 \pi}{6} ; \frac{19 \pi}{6}\)