13. Тригонометрические, логарифмические, показательные и смешанные уравнения

148

(ЕГЭ,2018) а) Решите уравнение \(\sqrt{6} \sin ^2 x+\cos x=2 \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)\).

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[3 \pi ; \frac{9 \pi}{2}\right]\).

a) \(\pi k, k \in \mathbb{Z} ; \frac{\pi}{4}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z}\); \(\frac{3 \pi}{4}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z}\); б) \(3 \pi ; 4 \pi ; \frac{17 \pi}{4}\).

a) \(\pi k, k \in \mathbb{Z} ; \frac{\pi}{6}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z}\); \(\frac{5 \pi}{6}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z}\); б) \(3 \pi ; 4 \pi ; \frac{25 \pi}{6}\).

a) \(\pi + \pi k, k \in \mathbb{Z} ; \frac{\pi}{3}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z}\); \(-\frac{ \pi}{3}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z}\); б) \(3 \pi ; \frac{11 \pi}{3} ; \frac{13 \pi}{3}\).

a) \( \frac{\pi}{2}+2 \pi k, k \in \mathbb{Z}\) ; \(\frac{\pi}{6}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z}\); \(-\frac{ \pi}{6}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z}\); б) \(\frac{23 \pi}{6} ; \frac{25 \pi}{6} ; \frac{9 \pi}{2}\).

Ответ

a) \(\pi k, k \in \mathbb{Z} ; \frac{\pi}{4}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z}\); \(\frac{3 \pi}{4}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z}\); б) \(3 \pi ; 4 \pi ; \frac{17 \pi}{4}\).

149

(ЕГЭ,2018) а) Решите уравнение \(2 \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)-\sqrt{3} \cos 2 x=\sin x+\sqrt{3}\).

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-2 \pi ;-\frac{\pi}{2}\right]\).

a) \(\frac{\pi}{2}+\pi k, k \in \mathbb{Z} ; \frac{\pi}{3}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z}\); \(-\frac{\pi}{3}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z}\); б) \(-\frac{5 \pi}{3} ;-\frac{3 \pi}{2} ;-\frac{\pi}{2}\).

a) \(\frac{\pi}{4}+ \pi n, n \in \mathbb{Z}\); \(-\frac{\pi}{4}+ \pi m, m \in \mathbb{Z}\); б) \(-\frac{3 \pi}{4} ;-\frac{5 \pi}{4} ;-\frac{7\pi}{4}\).

a) \(\frac{\pi}{2}+2\pi k, k \in \mathbb{Z} ; \frac{\pi}{6}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z}\); \(\frac{5\pi}{6}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z}\); б) \(-\frac{7 \pi}{6} ;-\frac{3 \pi}{2} ;-\frac{11\pi}{6}\).

a) \(\frac{\pi}{3}+\pi k, k \in \mathbb{Z} ; \frac{\pi}{6}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z}\); \(-\frac{\pi}{6}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z}\); б) \(-\frac{2 \pi}{3} ;-\frac{5 \pi}{3} ;-\frac{11\pi}{6}\).

Ответ

a) \(\frac{\pi}{2}+\pi k, k \in \mathbb{Z} ; \frac{\pi}{3}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z}\); \(-\frac{\pi}{3}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z}\); б) \(-\frac{5 \pi}{3} ;-\frac{3 \pi}{2} ;-\frac{\pi}{2}\).

150

(ЕГЭ,2018) а) Решите уравнение \(2 \cos x-\sqrt{3} \sin ^2 x=2 \cos ^3 x\).

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac{7 \pi}{2} ;-2 \pi\right]\).

a) \(\pi k, k \in \mathbb{Z} ; \frac{\pi}{6}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z}\); \(-\frac{\pi}{6}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z}\); б) \(-3 \pi ;-\frac{13 \pi}{6} ;-2 \pi\).

a) \(\pi k, k \in \mathbb{Z} ; \frac{\pi}{4}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z}\); \(-\frac{\pi}{4}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z}\); б) \(-3 \pi ;-\frac{9 \pi}{4} ;-2 \pi\).

a) \(\pi + \pi k, k \in \mathbb{Z} ; \frac{\pi}{6}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z}\); \(\frac{5\pi}{6}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z}\); б) \(-3 \pi ;-\frac{19 \pi}{6}\).

a) \(\pi k, k \in \mathbb{Z} ; \frac{\pi}{3}+ \pi n, n \in \mathbb{Z}\); \(\frac{2\pi}{3}+ \pi m, m \in \mathbb{Z}\); б) \(-3 \pi ;-\frac{10 \pi}{3} ;-\frac{8 \pi}{3} ;-\frac{7 \pi}{3} ;-2 \pi\).

Ответ

a) \(\pi k, k \in \mathbb{Z} ; \frac{\pi}{6}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z}\); \(-\frac{\pi}{6}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z}\); б) \(-3 \pi ;-\frac{13 \pi}{6} ;-2 \pi\).

151

(ЕГЭ,2018) а) Решите уравнение \(\log _3 x \cdot \log _3\left(4 x^2-1\right)=\log _3 \frac{x\left(4 x^2-1\right)}{3}\)

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\log _5 2 ; \log _5 27\right]\).

Ответ

а) 1 ; 3 ; б) 1 .

152

(ЕГЭ,2018) а) Решите уравнение \(\frac{\sin x}{\cos x+1}=1-\cos x\)

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac{5 \pi}{2},-\pi\right]\)

Ответ

a) \(2 \pi k, k \in \mathbb{Z}, \frac{\pi}{2}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z}\); б) \(-2 \pi ;-\frac{3 \pi}{2}\)

382

(ЕГЭ,2017) a) Решите уравнение
\begin{equation*}
8^x-9 \cdot 2^{x+1}+2^{5-x}=0 .
\end{equation*}

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\log _5 2 ; \log _5 20\right]\).

Ответ

а) \(\frac{1}{2}\) и 2 ; б) \(\frac{1}{2}\)