a) Запишем исходное уравнение в виде:
\(\sqrt{3} \cos x+2 \sin x \cdot \cos x+6=6 ;\)

\(\cos x \cdot(2 \sin x+\sqrt{3})=0 .\)

Значит, или \(\cos x=0\), откуда \(x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k, k \in \mathbb{Z}\), или \(\sin x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), откуда \(x=-\dfrac{\pi}{3}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z}\), или \(x=-\dfrac{2 \pi}{3}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z}\).

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[\pi ; \dfrac{5 \pi}{2}\right]\).

Получим числа: \(\dfrac{4 \pi}{3} ; \dfrac{3 \pi}{2} ; \dfrac{5 \pi}{3} ; \dfrac{5 \pi}{2}\).

а) \(\dfrac{\pi}{2}+\pi k, k \in \mathbb{Z} ;-\dfrac{\pi}{3}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z};\) \(-\dfrac{2 \pi}{3}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z}\) б) \(\dfrac{4 \pi}{3} ; \dfrac{3 \pi}{2} ; \dfrac{5 \pi}{3} ; \dfrac{5 \pi}{2}\).

a) Запишем исходное уравнение в виде:

\(2 \sin x \cos x=\sqrt{2} \sin x ; \)

\(2 \sin x \cos x-\sqrt{2} \sin x=0 ; \)

\(\sin x \cdot(2 \cos x-\sqrt{2})=0 .\)

Значит, \(\sin x=0\), откуда \(x=\pi k, k \in \mathbb{Z}\), или \(\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), откуда \(x=\dfrac{\pi}{4}+2 \pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\), или \(x=-\dfrac{\pi}{4}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z}\).

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[-\dfrac{7 \pi}{2} ;-2 \pi\right]\).

Получим числа: \(-3 \pi ;-\dfrac{9 \pi}{4} ;-2 \pi\).

a) \(\pi k, k \in \mathbb{Z} ; \dfrac{\pi}{4}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z} ;\) \(-\dfrac{\pi}{4}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z}\); б) \(-3 \pi ;-\dfrac{9 \pi}{4} ;-2 \pi\).

a) Запишем исходное уравнение в виде:

\(7 \cos x+4 \sqrt{3} \sin x \cdot \cos x-4 \cos ^3 x=0 ; \)

\(\cos x \cdot\left(7+4 \sqrt{3} \sin x-4 \cos ^2 x\right)=0 ; \)

\(\cos x \cdot\left(4 \sin ^2 x+4 \sqrt{3} \sin x+3\right)=0 ; \)

\(\cos x \cdot(2 \sin x+\sqrt{3})^2=0 .\)

Значит, \(\cos x=0\), откуда \(x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k, k \in \mathbb{Z}, \) или \(\sin x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), откуда \(x=-\dfrac{\pi}{3}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z}\), или \(x=-\dfrac{2 \pi}{3}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z}\).

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[-\dfrac{5 \pi}{2} ;-\pi\right]\).

Получим числа: \(-\dfrac{5 \pi}{2} ;-\dfrac{7 \pi}{3} ;-\dfrac{3 \pi}{2}\).

a) \(\dfrac{\pi}{2}+\pi k, k \in \mathbb{Z} ; -\dfrac{\pi}{3}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z} ; \) \(-\dfrac{2 \pi}{3}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z} ;\) б) \(-\dfrac{5 \pi}{2} ;-\dfrac{7 \pi}{3} ;-\dfrac{3 \pi}{2}\).

a) Запишем исходное уравнение в виде:

\(4 \sin ^3 x+4 \sqrt{3}-4 \sqrt{3} \sin ^2 x+3 \sin x=4 \sqrt{3} ;\)

\(4 \sin ^3 x-4 \sqrt{3} \sin ^2 x+3 \sin x=0 ; \)

\(\sin x \cdot(2 \sin x-\sqrt{3})^2=0 .\)

Значит, \(\sin x=0\), откуда \(x=\pi k, k \in \mathbb{Z}\), или \(\sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), откуда \(x=\dfrac{\pi}{3}+2 \pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\), или \(x=\dfrac{2 \pi}{3}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z}\).

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[\pi ; \dfrac{5 \pi}{2}\right]\).

Получим числа: \(\pi ; 2 \pi ; \dfrac{7 \pi}{3}\).

а) \(\pi k, k \in \mathbb{Z} ; \dfrac{\pi}{3}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z}\); \(\dfrac{2 \pi}{3}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z};\) \(б) \pi ; 2 \pi ; \dfrac{7 \pi}{3}\).

a) Запишем исходное уравнение в виде:

\(4 \cos ^3 x+3 \cos x+4 \sqrt{3}= 4 \sqrt{3}-4 \sqrt{3} \cos ^2 x ;\)

\(4 \cos ^3 x+4 \sqrt{3} \cos ^2 x+3 \cos x=0 ;\)

\(\cos x \cdot(2 \cos x+\sqrt{3})^2=0 .\)

Значит, \(\cos x=0\), откуда \(x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k, k \in \mathbb{Z}\), или \(\cos x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), откуда \(x=\dfrac{5 \pi}{6}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z}\), или \(x=-\dfrac{5 \pi}{6}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z}\).

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[\dfrac{3 \pi}{2} ; 3 \pi\right]\).
Получим числа: \(\dfrac{3 \pi}{2} ; \dfrac{5 \pi}{2} ; \dfrac{17 \pi}{6}\).

а) \(\dfrac{\pi}{2}+\pi k, k \in \mathbb{Z} ; \dfrac{5 \pi}{6}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z}\); \(-\dfrac{5 \pi}{6}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z}\) б) \(\dfrac{3 \pi}{2} ; \dfrac{5 \pi}{2} ; \dfrac{17 \pi}{6}\).

a) Запишем исходное уравнение в виде:

\(4 \sin x \cos ^2 x-4 \sqrt{3} \sin x \cos x+3 \sin x=0 ;\)

\(\sin x \cdot(2 \cos x-\sqrt{3})^2=0 .\)

Значит, \(\sin x=0\), откуда \(x=\pi k, k \in \mathbb{Z}\), или \(\cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), откуда \(x=\dfrac{\pi}{6}+2 \pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\), или \(x=-\dfrac{\pi}{6}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z}\)

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[-\dfrac{7 \pi}{2} ;-2 \pi\right]\).
Получим числа: \(-3 \pi ;-\dfrac{13 \pi}{6} ;-2 \pi\).

а) \(\pi k, k \in \mathbb{Z} ; \dfrac{\pi}{6}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z}\); \(-\dfrac{\pi}{6}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z} ;\) б) \(-3 \pi ;-\dfrac{13 \pi}{6} ;-2 \pi.\)