Решение

a) Запишем исходное уравнение в виде: 

\(16^x-10 \cdot 4^x+16=0\);

\(\left(4^x-8\right)\left(4^x-2\right)=0\).

Значит, \(4^x=8\), откуда \(x=\frac{3}{2}\), или \(4^x=2\), откуда \(x=\dfrac{1}{2}\).

б) Заметим, что \(\log _5 2<\log _5 \sqrt{5}=\dfrac{1}{2}<\log _5 10< log _5 \sqrt{125}=\dfrac{3}{2}\). 

Значит, отрезку \(\left[\log _5 2 ; \log _5 10\right]\) принадлежит корень \(\dfrac{1}{2}\).

 

а) \(\dfrac{1}{2}\) ; \(\dfrac{3}{2}\); б) \(\dfrac{1}{2}\).

a) Пусть \(t=9^{\sin x}\), тогда исходное уравнение запишется в виде \(t+\dfrac{1}{t}=\dfrac{10}{3}\), откуда \(t=3\) или \(t=\dfrac{1}{3}\).

При \(t=3\) получим: \(9^{\sin x}=3\), откуда \(\sin x=\dfrac{1}{2} ; x=\dfrac{\pi}{6}+2 \pi k, k \in \mathbb{Z}\), или \(x=\dfrac{5 \pi}{6}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z}\).

При \(t=\dfrac{1}{3}\) получим: \(9^{\sin x}=\dfrac{1}{3}\), откуда \(\sin x=-\dfrac{1}{2} ; x=-\dfrac{\pi}{6}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z}\), или \(x=-\dfrac{5 \pi}{6}+2 \pi l, l \in \mathbb{Z}\).

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[-\dfrac{7 \pi}{2} ;-2 \pi\right]\).
Получим числа: \(-\dfrac{19 \pi}{6} ;-\dfrac{17 \pi}{6} ;-\dfrac{13 \pi}{6}\).

а) \(\dfrac{\pi}{6}+2 \pi k, k \in \mathbb{Z} ; \dfrac{5 \pi}{6}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z}\);\(-\dfrac{\pi}{6}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z} ;-\dfrac{5 \pi}{6}+2 \pi l, l \in \mathbb{Z}\); б) \(-\dfrac{19 \pi}{6} ;-\dfrac{17 \pi}{6} ;-\dfrac{13 \pi}{6}\).

a) Запишем исходное уравнение в виде:
\(2-2 \sin ^2 x-3 \sin x-3=0 ;\)

\(2 \sin ^2 x+3 \sin x+1=0 ;\)

\((\sin x+1)(2 \sin x+1)=0 .\)

Значит, \(\sin x=-1\), откуда \(x=-\dfrac{\pi}{2}+2 \pi k, k \in \mathbb{Z}\), или \(\sin x=-\dfrac{1}{2}\), откуда \(x=-\dfrac{\pi}{6}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z}\), или \(x=-\dfrac{5 \pi}{6}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z}\).

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[2 \pi ; \dfrac{7 \pi}{2}\right]\).

Получим числа: \(\dfrac{19 \pi}{6} ; \dfrac{7 \pi}{2}\).

\(a) -\dfrac{\pi}{2}+2 \pi k, k \in \mathbb{Z} ;-\dfrac{\pi}{6}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z}\) \(-\dfrac{5 \pi}{6}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z}\); б) \(\dfrac{19 \pi}{6} ; \dfrac{7 \pi}{2}\).

a) Запишем исходное уравнение в виде:
\(2 \sin x \cdot \cos x-2 \sin x+\cos x-1=0 ;\)

\((\cos x-1)(2 \sin x+1)=0 .\)
Значит, \(\cos x=1\), откуда \(x=2 \pi k, k \in \mathbb{Z}\), или \(\sin x=-\dfrac{1}{2}\), откуда \(x=-\dfrac{\pi}{6}+2 \pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\), или \(x=-\dfrac{5 \pi}{6}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z}\).

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[2 \pi ; \dfrac{7 \pi}{2}\right]\).
Получим числа: \(2 \pi ; \dfrac{19 \pi}{6}\).

\( a) 2 \pi k, k \in \mathbb{Z} ;-\dfrac{\pi}{6}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z}\); \(-\dfrac{5 \pi}{6}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z}\); б) \(2 \pi ; \dfrac{19 \pi}{6}\).

a) Запишем исходное уравнение в виде:
\(4 \sin x \cdot \cos x-2 \sin x-2 \cos x+1=0 ;\)

\((2 \sin x-1)(2 \cos x-1)=0 .\)
Значит, \(\sin x=\dfrac{1}{2}\), откуда \(x=\dfrac{\pi}{6}+2 \pi k, k \in \mathbb{Z}\), или \(x=\dfrac{5 \pi}{6}+2 \pi l, l \in \mathbb{Z}\), или \(\cos x=\dfrac{1}{2}\), откуда \(x=-\dfrac{\pi}{3}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z}\), или \(x=\dfrac{\pi}{3}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z}\).

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[\dfrac{5 \pi}{2} ; 4 \pi\right]\).

Получим числа: \(\dfrac{17 \pi}{6} ; \dfrac{11 \pi}{3}\).

а) \(\dfrac{\pi}{6}+2 \pi k, k \in \mathbb{Z} ; \dfrac{5 \pi}{6}+2 \pi l, l \in \mathbb{Z};\) \(-\dfrac{\pi}{3}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z};\dfrac{\pi}{3}+2 \pi m, m \in \mathbb{Z}\); б) \(\dfrac{17 \pi}{6} ; \dfrac{11 \pi}{3}\).

a) Запишем исходное уравнение в виде:
\(2 \sin x \cdot \cos x-2 \sin x+2 \cos x-2=0 ;\)

\(2(\sin x+1)(\cos x-1)=0 .\)

Значит, \(\sin x=-1\), откуда \(x=-\dfrac{\pi}{2}+2 \pi k, k \in \mathbb{Z}\), или \(\cos x=1\), откуда \(x=2 \pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\)

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[3 \pi ; \dfrac{9 \pi}{2}\right]\).

Получим числа: \(\dfrac{7 \pi}{2} ; 4 \pi\).

а) \(-\dfrac{\pi}{2}+2 \pi k, k \in \mathbb{Z} ; 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}\); б) \(\dfrac{7 \pi}{2} ; 4 \pi\).