13. Тригонометрические, логарифмические, показательные и смешанные уравнения
Чтобы получить дополнительный функционал нужно войти.
(ЕГЭ, 2023) a) Решите уравнение
\(2 \sin ^2 x \cdot \cos x+\sqrt{2} \cos ^2 x=\sqrt{2} \).
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac{7 \pi}{2} ;-2 \pi\right]\).
Решение
Решение
а) Запишем исходное уравнение в виде:
\begin{equation*}
\begin{aligned}
& 2 \sin ^2 x \cdot \cos x+\sqrt{2} \cos ^2 x= \\ & = \sqrt{2} \sin ^2 x+ \sqrt{2} \cos ^2 x \\
& 2 \sin ^2 x \cdot \cos x-\sqrt{2} \sin ^2 x=0 \\
& \sin ^2 x \cdot(2 \cos x-\sqrt{2})=0 .
\end{aligned}
\end{equation*}
Значит, \(\sin x=0\), откуда \(x=\pi k, k \in Z\), или \(\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\), откуда \(x=\frac{\pi}{4}+2 \pi n\), \(n \in Z\), или
\(x=-\frac{\pi}{4}+2 \pi m, m \in Z\).
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[-\dfrac{7 \pi}{2} ;-2 \pi\right]\).
Получим числа: \(-3 \pi ;-\dfrac{9 \pi}{4} ;-2 \pi\).
Ответ
(ЕГЭ, 2023) a) Решите уравнение
\(2 \sin ^3 x+\sqrt{3} \cos ^2 x=\sqrt{3} \).
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\dfrac{7 \pi}{2} ;-2 \pi\right]\).
Решение
a)\(2 \sin ^3 x+\sqrt{3} \cos ^2 x=\sqrt{3} \sin ^2 x+\sqrt{3} \cos ^2 x\)
\(2 \sin ^3 x-\sqrt{3} \sin ^2 x=0 ;\)
\(\sin ^2 x \cdot(2 \sin x-\sqrt{3})=0\)
Значит, \(\sin x=0\), откуда \(x=\pi k, k \in Z\), или \(\sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), откуда \(x=\dfrac{\pi}{3}+2 \pi n\), \(n \in Z\), или
\(x=\dfrac{2 \pi}{3}+2 \pi m, m \in Z\).
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac{7 \pi}{2} ;-2 \pi\right]\).
Получим числа: \(-\dfrac{10 \pi}{3} ;-3 \pi ;-2 \pi\).
Ответ
(ЕГЭ, 2023) a) Решите уравнение
\(\log _3\left(x^3+6 x^2-3 x-19\right)=\log _3(x+5)\) .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\log _{0,5} 100 ; \log _{0,5} 0,3\right]\).
Решение
a) При \(x+5 \leq 0\) правая часть уравнения не определена.
При \(x+5>0\) уравнение принимает вид:
\(x^3+6 x^2-3 x-19=x+5\);
\(x^3+6 x^2-4 x-24=0\);
\(x^2(x+6)-4(x+6)=0\);
\((x-2)(x+2)(x+6)=0 \).
Значит, \(x=-6, x=-2\) или \(x=2\).
Условию \(x+5>0\) удовлетворяют значения \(x=-2\) и \(x=2\).
б) Заметим, что \(\log _{0,5} 100=-\log _2 100<-2<\log _{0,5} 0,3 =\)
\(=\log _2 \dfrac{10}{3}<2\).
Значит, отрезку \(\left[\log _{0,5} 100 ; \log _{0,5} 0,3\right]\) принадлежит корень -2 .
Ответ
(ЕГЭ, 2023) a) Решите уравнение
\(\log _2\left(\sqrt{3} \sin \left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)+\sin 2 x+32\right)=5 \) .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\pi ; \dfrac{5 \pi}{2}\right]\).
Решение
a) Запишем исходное уравнение в виде:
\(\sqrt{3} \cos x+2 \sin x \cdot \cos x+32=32\)
\(\cos x \cdot(2 \sin x+\sqrt{3})=0 \).
Значит, или \(\cos x=0\), откуда \(x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k, k \in Z\), или \(\sin x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\),
откуда \(x=-\dfrac{\pi}{3}+2 \pi n, n \in Z\), или \(x=-\dfrac{2 \pi}{3}+2 \pi m, m \in Z\).
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[\pi ; \dfrac{5 \pi}{2}\right]\).
Получим числа: \(\dfrac{4 \pi}{3} ; \dfrac{3 \pi}{2} ; \dfrac{5 \pi}{3} ; \dfrac{5 \pi}{2}\).
Ответ
(ЕГЭ, 2023) a) Решите уравнение
\(\cos x \cdot \cos 2 x+\sqrt{3} \sin ^2 x=\cos x\) .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-4 \pi ;-\dfrac{5 \pi}{2}\right]\).
Решение
a) Запишем исходное уравнение в виде:
\(\cos x-2 \sin ^2 x \cdot \cos x+\sqrt{3} \sin ^2 x-\cos x=0\) ;
\(2 \sin ^2 x \cdot \cos x-\sqrt{3} \sin ^2 x=0\) ;
\(\sin ^2 x \cdot(2 \cos x-\sqrt{3})=0\)
Значит, \(\sin x=0\), откуда \(x=\pi k, k \in Z\), или \(\cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), откуда \(x=\dfrac{\pi}{6}+2 \pi n\), \(n \in Z\),
или \(x=-\dfrac{\pi}{6}+2 \pi m, m \in Z\).
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[-4 \pi ;-\dfrac{5 \pi}{2}\right]\).
Получим числа: \(-4 \pi ;-\dfrac{23 \pi}{6} ;-3 \pi\).
Ответ
(ЕГЭ, 2023) a) Решите уравнение
\(2 \sin ^3 x=\sqrt{3} \cos ^2 x+2 \sin x\).
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[2 \pi ; \dfrac{7 \pi}{2}\right]\).
Решение
a) Запишем исходное уравнение в виде:
\(2 \sin x-2 \sin x \cdot \cos ^2 x-\sqrt{3} \cos ^2 x-\)
\(-2 \sin x=0\) ;
\(2 \sin x \cdot \cos ^2 x+\sqrt{3} \cos ^2 x=0\)
\(\cos ^2 x \cdot(2 \sin x+\sqrt{3})=0\)
Значит, \(\cos x=0\), откуда \(x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k, k \in Z\), или \(\sin x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), откуда \(x=-\dfrac{\pi}{3}+2 \pi n, n \in Z\),
или \(x=-\dfrac{2 \pi}{3}+2 \pi m, m \in Z\).
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[2 \pi ; \dfrac{7 \pi}{2}\right]\).
Получим числа: \(\dfrac{5 \pi}{2} ; \dfrac{10 \pi}{3} ; \dfrac{7 \pi}{2}\).