Решение
а) Запишем исходное уравнение в виде:
\begin{equation*}
\begin{aligned}
& 2 \sin ^2 x \cdot \cos x+\sqrt{2} \cos ^2 x= \\ & = \sqrt{2} \sin ^2 x+ \sqrt{2} \cos ^2 x \\
& 2 \sin ^2 x \cdot \cos x-\sqrt{2} \sin ^2 x=0 \\
& \sin ^2 x \cdot(2 \cos x-\sqrt{2})=0 .
\end{aligned}
\end{equation*}

Значит, \(\sin x=0\), откуда \(x=\pi k, k \in Z\), или \(\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\), откуда \(x=\frac{\pi}{4}+2 \pi n\), \(n \in Z\), или

\(x=-\frac{\pi}{4}+2 \pi m, m \in Z\).

 

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[-\dfrac{7 \pi}{2} ;-2 \pi\right]\).

Получим числа: \(-3 \pi ;-\dfrac{9 \pi}{4} ;-2 \pi\).

а) \(\pi k, k \in Z ; \frac{\pi}{4}+2 \pi n, n \in Z\);\(-\frac{\pi}{4}+2 \pi m, m \in Z\) б) \(-3 \pi ;-\dfrac{9 \pi}{4} ;-2 \pi\).

a)\(2 \sin ^3 x+\sqrt{3} \cos ^2 x=\sqrt{3} \sin ^2 x+\sqrt{3} \cos ^2 x\)

\(2 \sin ^3 x-\sqrt{3} \sin ^2 x=0 ;\)

\(\sin ^2 x \cdot(2 \sin x-\sqrt{3})=0\) 

 Значит, \(\sin x=0\), откуда \(x=\pi k, k \in Z\), или \(\sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), откуда \(x=\dfrac{\pi}{3}+2 \pi n\), \(n \in Z\), или 
 
 \(x=\dfrac{2 \pi}{3}+2 \pi m, m \in Z\). 
 
    б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac{7 \pi}{2} ;-2 \pi\right]\).

Получим числа: \(-\dfrac{10 \pi}{3} ;-3 \pi ;-2 \pi\). 

а) \(\pi k, k \in Z ; \dfrac{\pi}{3}+2 \pi n, n \in Z\); \(\dfrac{2 \pi}{3}+2 \pi m, m \in Z\) б) \(-\dfrac{10 \pi}{3} ;-3 \pi ;-2 \pi\).

 

a) При \(x+5 \leq 0\) правая часть уравнения не определена. 

При \(x+5>0\) уравнение принимает вид:

\(x^3+6 x^2-3 x-19=x+5\);

\(x^3+6 x^2-4 x-24=0\);

\(x^2(x+6)-4(x+6)=0\);

\((x-2)(x+2)(x+6)=0 \).

Значит, \(x=-6, x=-2\) или \(x=2\).

Условию \(x+5>0\) удовлетворяют значения \(x=-2\) и \(x=2\).

б) Заметим, что \(\log _{0,5} 100=-\log _2 100<-2<\log _{0,5} 0,3 =\)

\(=\log _2 \dfrac{10}{3}<2\).

Значит, отрезку \(\left[\log _{0,5} 100 ; \log _{0,5} 0,3\right]\) принадлежит корень -2 .
 

а) \(-2 ; 2;\) б) \(-2\) .

a) Запишем исходное уравнение в виде:

\(\sqrt{3} \cos x+2 \sin x \cdot \cos x+32=32\)

\(\cos x \cdot(2 \sin x+\sqrt{3})=0 \).

Значит, или \(\cos x=0\), откуда \(x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k, k \in Z\), или \(\sin x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\),

откуда \(x=-\dfrac{\pi}{3}+2 \pi n, n \in Z\), или \(x=-\dfrac{2 \pi}{3}+2 \pi m, m \in Z\).

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[\pi ; \dfrac{5 \pi}{2}\right]\).

Получим числа: \(\dfrac{4 \pi}{3} ; \dfrac{3 \pi}{2} ; \dfrac{5 \pi}{3} ; \dfrac{5 \pi}{2}\).

 

а) \(\dfrac{\pi}{2}+\pi k, k \in Z ;-\dfrac{\pi}{3}+2 \pi n, n \in Z\); \(-\dfrac{2 \pi}{3}+2 \pi m, m \in Z\) б) \(\dfrac{4 \pi}{3} ; \dfrac{3 \pi}{2} ; \dfrac{5 \pi}{3} ; \dfrac{5 \pi}{2}\).

a) Запишем исходное уравнение в виде:

\(\cos x-2 \sin ^2 x \cdot \cos x+\sqrt{3} \sin ^2 x-\cos x=0\) ; 

\(2 \sin ^2 x \cdot \cos x-\sqrt{3} \sin ^2 x=0\) ; 

\(\sin ^2 x \cdot(2 \cos x-\sqrt{3})=0\)

Значит, \(\sin x=0\), откуда \(x=\pi k, k \in Z\), или \(\cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), откуда \(x=\dfrac{\pi}{6}+2 \pi n\), \(n \in Z\), 

или \(x=-\dfrac{\pi}{6}+2 \pi m, m \in Z\).

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[-4 \pi ;-\dfrac{5 \pi}{2}\right]\).

Получим числа: \(-4 \pi ;-\dfrac{23 \pi}{6} ;-3 \pi\).

 

а) \(\pi k, k \in Z ; \dfrac{\pi}{6}+2 \pi n, n \in Z\); \(-\dfrac{\pi}{6}+2 \pi m, m \in Z\) б) \(-4 \pi ;-\dfrac{23 \pi}{6} ;-3 \pi\).

a) Запишем исходное уравнение в виде:

\(2 \sin x-2 \sin x \cdot \cos ^2 x-\sqrt{3} \cos ^2 x-\)

\(-2 \sin x=0\) ; 

\(2 \sin x \cdot \cos ^2 x+\sqrt{3} \cos ^2 x=0\) 

\(\cos ^2 x \cdot(2 \sin x+\sqrt{3})=0\)

Значит, \(\cos x=0\), откуда \(x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k, k \in Z\), или \(\sin x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), откуда \(x=-\dfrac{\pi}{3}+2 \pi n, n \in Z\), 

или \(x=-\dfrac{2 \pi}{3}+2 \pi m, m \in Z\).

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[2 \pi ; \dfrac{7 \pi}{2}\right]\).

Получим числа: \(\dfrac{5 \pi}{2} ; \dfrac{10 \pi}{3} ; \dfrac{7 \pi}{2}\).

 

а) \(\dfrac{\pi}{2}+\pi k, k \in Z ;-\dfrac{\pi}{3}+2 \pi n, n \in Z);\) \(-\dfrac{2 \pi}{3}+2 \pi m, m \in Z\) б) \(\dfrac{5 \pi}{2} ; \dfrac{10 \pi}{3} ; \dfrac{7 \pi}{2}\).