(ЕГЭ,2017) Длина диагонали куба \(A B C D A_1 B_1 C_1 D_1\) равна \(3 \sqrt{11}\). На луче \(A_1 C\) отмечена точка \(P\) так, что \(A_1 P=4 \sqrt{11}\).

a) Докажите, что \(P B D C_1\) - правильный тетраэдр.

б) Найдите длину отрезка \(A P\).

(ЕГЭ,2017) На рёбрах \(A B\) и \(B C\) треугольной пирамиды \(A B C D\) отмечены точки \(M\) и \(N\) соответственно, причём \(A M: M B=C N: N B=1: 3\). Точки \(P\) и \(Q\) - середины рёбер \(D A\) и \(D C\) соответственно.

a) Докажите, что точки \(P, Q, M\) и \(N\) лежат в одной плоскости.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость \(P Q M\) разбивает пирамиду.

(ЕГЭ,2017) На ребре \(S D\) правильной четырёхугольной пирамиды \(S A B C D\) с основанием \(A B C D\) отмечена точка \(M\), причём \(S M: M D=1: 4\). Точки \(P\) и \(Q\) - середины рёбер \(B C\) и \(A D\) соответственно.

a) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью \(M P Q\) является равнобедренной трапецией.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость \(M P Q\) разбивает пирамиду.

(ЕГЭ,2017) Основанием четырёхугольной пирамиды \(S A B C D\) является прямоугольник \(A B C D\), причём \(A B=2 \sqrt{3}, \quad B C=2 \sqrt{6}\). Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин \(A\) и \(C\) опущены перпендикуляры \(A P\) и \(C Q\) на ребро \(S B\).

a) Докажите, что \(P\) - середина отрезка \(B Q\).

б) Найдите угол между гранями \(S B A\) и \(S B C\), если \(S D=6\).

(ЕГЭ,2017) Основанием прямой треугольной призмы \(A B C A_1 B_1 C_1\) является прямоугольный треугольник \(A B C\) с прямым углом \(C\), а боковая грань \(A C C_1 A_1\) является квадратом.

a) Докажите, что прямые \(C A_1\) и \(A B_1\) перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми \(C A_1\) и \(A B_1\), если \(A C=1, B C=4\).

(ЕГЭ,2017) Основанием прямой треугольной призмы \(A B C A_1 B_1 C_1\) является прямоугольный треугольник \(A B C\) с прямым углом \(C\). Диагонали боковых граней \(A A_1 B_1 B\) и \(B B_1 C_1 C\) равны \(15\) и \(9\) соответственно, \(A B=13\).

a) Докажите, что треугольник \(B A_1 C_1\) прямоугольный.

б) Найдите объём пирамиды \(A A_1 C_1 B\).